Besondere Polar-Zonoeder

Es gibt unendlich viele Polyeder mit oktaedrischer Symmetrie, deren alle Ecken auf kartesischen Gitterpunkten liegen. Besondere sind solche, deren Kantenlängen auch ganzzahlig (Integer) sind. Auch weniger symmetrische Polyeder mit diesen Eigenschaften sind interessant.

Hier zeigen wir, wie man solche Polar-Zonoeder generieren kann.

Fangen wir mit einem Rhombendodekaeder, dessen sechs Ecken Koordinaten im Format (±4, 0, 0) haben und acht Ecken Koordinaten im Format (±2, ±2, ±2). Die Kantenlänge beträgt 2√3, also etwa 3,34641. Jetzt stauchen wir dieses Polyeder in der Richtung der z-Achse mit dem Faktor 0,5. Koordinaten von vier Ecken in der xy-Ebene ändern sich nicht, aber zwei Ecken auf der z-Achse haben jetzt Koordinaten im Format (0, 0,±2) und andere 8 Ecken Koordinaten im Format (±2, ±2, ±1).
Die Kantenlänge beträgt jetzt 3.

Wir haben das kleinste Polar-Zonoeder erhalten, dessen Eckkoordinaten und die Kantenlänge ganzzahlig sind. Woran das liegt? – an vier Zahlen: 1, 2, 2 und 3. Es ist das kleinste primitive pythagoreische-Quadrupel, also: 12 + 22 + 22  = 32.

Mit anderen Quadrupel kann man weitere solche Polar-Zonoeder bauen.

Hier einige Beispiele.

Mit dem Quadrupel (2, 3, 6, 7) kann man ein Polar-Zonoeder aus 56 Rhomben bauen.

Mit zwei Quadrupel (2, 5, 14, 15)  und (5, 10, 10, 15) kann man ein Polar-Zonoeder aus 132 Rhomben bauen.

Mit zwei Quadrupel (1, 4, 8, 9)  und (4, 4, 7, 9) kann man ein Polar-Zonoeder aus 240 Rhomben bauen.

Mit drei Quadrupel (1, 6, 18, 19), (6, 6,17, 19)  und (6, 10, 15, 19) kann man ein Polar-Zonoeder aus 552 Rhomben bauen.

Alle hier gezeigte Beispiele haben eine vierfache Polarachse und vier zweifachen Rotationsachsen. Möglich sind Polar-Zonoeder mit einer zweifachen Polarachse. Man muss beim Konstruieren ein Vektorpaar auf der Basis des Quadrupels nur zweimal um die Polarachse drehen statt viermal.
Unten ein Beispiel mit einem Polar-Zonoeder, dessen Kantenlänge 9 beträgt.

Notabene, auch das Volumen von solchen Zonoeder ist ganzzahlig.

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Auch nicht konvexe Polar-Rhomboeder (Zonoeder?) kann man so konstruieren. Unten ein Beispiel mit der Kantenlänge = 9.

Die nicht konvexe Form kann man in konvexe umwandeln.

Noch ein Beispiel mit der vierfachen Rotationsachse:

Man kann es in die konvexe Form umwandeln:

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Snub polyhedra

Beide abgeschrägte archimedische Polyeder (engl. snub polyhedra) sind sehr interessante Formen, die zu weiteren interessanten Formen führen.
In meiner Nomenklatur wird das abgeschrägte Hexaeder A7 genannt und das abgeschrägte Dodekaeder A13.

A7

Seine duale Form ist ein Catalan-Polyeder – das Pentagonikositetraeder, das aus 24 gleichen nicht regulären Pentagonen gebaut ist.  

C7

Unten sehen wir ein Deltoid-Polyeder – die „Kreuzung“ von beiden Polyedern, das aus 120 Deltoiden (2 Typen) gebaut ist.

Schneiden wir einige fünffache Ecken ab, erhalten wir ein Polyeder, das aus 144 nicht regulären Pentagonen (3 Typen) gebaut ist.

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Analog verfahren wir mit dem abgeschrägten Dodekaeder (A13).

A13

Seine duale Form ist ein Catalan-Polyeder – das Hexakisikosaeder, das aus 60 gleichen nicht regulären Pentagonen gebaut ist.  

C13

Die „Kreuzung“ von beiden Polyedern ist ein Deltoid-Polyedern, das aus 300 Deltoiden (2 Typen) gebaut ist.

Schneiden wir auch hier einige fünffache Ecken ab, erhalten wir ein Polyeder, das aus 360 nicht regulären Pentagonen (3 Typen) gebaut ist.


Hinweis:  alle Polyeder wurden mit dem Programm Stella4D generiert.

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Infinite Deltaeder

Reguläre 3D-Netze können als Bauschema für reguläre infinite Strukturen dienen, also auch für infinite Deltaeder.
Die Regularität bedeutet hier das, dass die 3D-Netze drei gleichwertige Translationen in drei senkrecht zueinander Richtungen aufweisen.

Es gibt vier reguläre Grundnetze (Gitter) im Raum:

  1. Kubisch primitiv (sc – simple cubic), von mir n6 benannt.
  2. Kubisch raumzentriert (bcc – body centered cubic), von mir n8 benannt.
  3. Kubisch flächenzentriert (fcc – face centered cubic), von mir n12 benannt.
  4. Die Diamantstruktur, es ist ein Unternetz den Netzes n8, von mir n4 benannt.
n6
n8
n12
n4

Wie man ein infinites Deltaeder baut, zeigen wir am Beispiel der Diamanstruktur.

In Knotenpunkten platzieren wir beispielweise Tetraeder, die wir mit dreiseitigen Antiprismen (Oktaedern!) verbinden. Die Tetraeder werden unsichtbar.

Man kann Oktaeder statt Tetraeder verwenden, dann sieht dieses Deltaeder so aus:


Grüne Dreiecke fungieren als Klebeflächen.

Ähnlich kann man mit dem Netz n8 vorgehen. Oktaeder in Knotenpunkten sind unsichtbar.

Tauschen wir Oktaeder gegen Ikosaeder hat das Deltaeder statt oktaedrische nur pyritoedrische Symmetrie.

Beim Netz n6 muss man anders vorgehen. In Knotenpunkten können wir Kuben, Kuboktaeder bzw. Hexaederstümpfe platzieren, die mit entsprechenden doppelten Antiprismen verbunden werden. Unten ein Beispiel mit Kuben, die unsichtbar sind.

Für ein Deltaeder auf der Basis des Netzes n12 findet man kein geeignetes Polyeder aus der platonischen und archimedischen Körper-Familie.
Ist so ein Deltaeder dann möglich?
Die Antwort im nächsten Beitrag.


Noch eine Frage: wie enstand dieses Deltaeder?

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Dodekaeder und pyritoedrische Symmetrie

Bemerkung I:

ein Dodekaeder kann man in einen Kubus einschreiben.

Diese Konfiguration hat pyritoedrische Symmetrie.
Notabene, das Verhältnis zwischen Kantenlängen des Dodekaeders und des Würfels beträgt: 1 – φ = 0,381966.

Bemerkung II:

Zwischen zwei Dodekaeder, die eine gemeinsame Kante haben, passt das Johnson-Polyeder J62.

Acht Dodekaeder und zwölf J62 bilden ein toroidales Polyeder mit dem Genus 5. Auch dieses Polyeder hat pyritoedrische Symmetrie.

In dieser Konfiguration kann man jedes Johnson-Polyeder durch drei Dodekaeder ersetzen, wobei zwei als Antiprismen fungieren.

Dieses toroidale Polyeder lässt sich „verdichten“.

Leicht geänderte Dodekaeder-Anordnung führt zu einer regulären infiniten Struktur, die auch pyritoedrische Symmetrie hat-

Man kann da den bekannten, geschlossenen Ring aus acht Dodekaeder erkennen.

Und noch eine andere Struktur. Da könnte man graue Dodekaeder mit pentagonalen Antiprismen ersetzen.

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Zwei Serien von toroidalen Polyedern

Ikosaeder und Oktaeder (die als Antiprismen fungieren) sind Bausteine für ein interessantes Toroid mit ikosaedrischen Symmetrie. 880 Dreiecke sind sichtbar, also ist es ein toroidales Deltaeder. Sein Genus beträgt 29.

Man kann dieses Toroid expandieren.

Jetzt sind es 3400 Dreiecke und das Genus beträgt 119.

Man kann es weiter nach und nach expandieren – beliebig groß. Wir erhalten eine Serie von toroidalen Polyedern.
Die Mittelpunkte der grünen Ikosaeder bilden ein Dodekaeder.

Mit n bezeichnen wir die Anzahl der Ikosaeder an einer Kante des Dodekaeders, wobei n ≥ 2.

Unten werden Projektionen der Toroide für die Fälle n = 2 bis 5 gezeigt.

n = 2, Genus 29
n = 3, Genus 119
n = 4, Genus 269
n = 5, Genus 479

Die zweite Serie wird aus Dodekaedern und fünfseitigen Antiprismen bebaut.

Im ersten Fall beträgt das Genus 29 und im zweiten Fall 119, gleiche Werte wie in der ersten Serie.

Unten werden Projektionen der Toroide für die Fälle n = 2 bis 4 gezeigt.

n = 2, Genus 29
n = 3, Genus 119
n = 4, Genus 269

Die Mittelpunkte der grünen und gelben Dodekaeder bilden ein Rhombentriakontaeder.

Genus-Werte in beiden Serien sind für gleiche n gleich.

Die Formel dafür sieht so aus:

Es ist so, weil Dodekaeder und Rhombentriakontaeder morphologisch ähnlich gebaut sind und zwar aus 60 Dreiecken. Das zeigt die Animation unten.

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Siebenecke

Allgemein bekannt ist, dass man im regulären Pentagon Goldene Proportionen vorfindet.

Es ist erstaunlich, dass auch Siebenecke etwas Gemeinsames mit der Goldenen Zahl haben. Es handelt sich aber nicht um Proportionen, sondern um die Anzahl der Siebenecke.

Vor einigen Jahren hat M. Gardner und H. Steinhaus (Mathematical Snapshots) eine nicht reguläre Bedeckung der Ebene mit konvexen Siebenecken erwähnt.
Es ist eine radiale ringförmige Anordnung der Siebenecke, wobei alle Knotenpunkte dreifach sind.

Das mittlere Siebeneck ist von einem Ring von sieben Siebenecken umgeben.
Der zweite Ring besteht aus 21 Siebenecken, der dritte aus 56, der vierte aus 147 und so weiter.
Wie viele Siebenecke beinhaltet der n-te Ring?

Um das zu berechnen teilen wir diese Bedeckung in sieben Sektoren auf.

Jetzt haben wir entsprechend: 1, 3, 8, 21, 55 usw. Siebenecken pro Ring.
Für den n-ten Ring innerhalb des Sektors erhalten wir:

a(n) = 3a(n – 1) – a(n – 2) ,
wobei  n > 2a(1) = 1  und  a(2) = 3  ist.

Das ist die Folge A001906 in OEIS:
1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765 … 

Es ist die Bisektion der Fibonacci-Folge (jeder zweite Wert).
Der Quotient zweier aufeinander folgender Zahlen dieser Folge nähert sich dem Quadrat der kleinen Goldenen Zahl φ an.

Notabene, in dieser Bedeckung der Ebene jedes Siebeneck hat sieben Nachbarn. Mit Hilfe der eulerschen Formel kann man aber nachweisen, dass die mittlere Zahl der Nachbarn einer Parkettierung der Ebene mit dreifachen Knotenpunkten 6 beträgt (siehe: hier). Ein Paradox also?

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Zwei Prismen

Das Bild zeigt zwei Prismen – ein vier- und  ein sechseckiges, die symmetrisch angespitzt sind. Das viereckige mit gleichschenkligen Dreiecken mit dem Spitzwinkel von 70,5288°, wie im Rhombus des Rhombendodekaeders. Das sechseckige mit Quadraten. Der Spitzwinkel in Rhomben von beiden Prismen beträgt 60°.

Es ist offensichtlich, dass sechseckige Prismen den Raum lückenlos ausfüllen können, ähnlich wie Bienenwaben, also schichtweise.

Frage: können beide Prismen zusammen den Raum regulär lückenlos ausfüllen?
„Regulär“ bedeutet hier das, dass die Raumfüllungen drei gleichwertige Translationen in drei senkrecht zueinander Richtungen aufweisen.

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Tetrated Dodecahedron – Space filling

Über tetrated Dodecahedron habe ich hier vor fünf Jahren bereits geschrieben – Link. Diesmal werden wir uns mit einer interessanten Modifizierung des Polyeders beschäftigen. Es sieht so aus:

Alle Dreiecke sind jetzt gleichseitig, die einzelne lila Dreiecke sind linear um ca. 5,66% größer als die blaue, die Paare bilden. Pentagone sind nicht mehr regulär, wichtig dabei ist – die dihedralen Winkel zwischen zwei benachbarten Pentagonen betragen 120°.

Das Polyeders hat tetraedrische Symmetrie und man kann es als Baustein für infinite symmetrische 3D-Strukturen verwenden. Unten zwei Beispiele.

Vertiefungen und Lücken kann man mit Tetraedern und mit sternförmigen Clustern aus fünf Tetraeder ausfüllen.

Wir erhalten eine lückenlose Raumfüllung.

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Plesiohedron

Eine Dirichlet-Voronoi-Zelle eines regulären, infiniten 3D-Netzes wird auch als Plesioeder (engl. Plesiohedron) bezeichnet.
Hier zeigen wir ein Plesioeder eines sekundären 3D-Netzes mit 12 Seitenflächen: vier Deltoiden, vier kleineren und vier größeren Dreiecken. In jedem Polygon kommt der spitzen Winkel von α = 70,5288° vor. Merke: sin(α/2) = SQRT(3)/3.

Es hat eine zweifache Rotationsachse. Wie auf der Zeichnung zu sehen ist, sind alle Koordinaten dieses Polyeders in der normalen Lage ganzzahlig. Es ist natürlich ein Raumfüller.
Sechs Plesioeder bilden zwei verschiedene 3D-Kreuze. Beide sind nicht konvexe Raumfüller.

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24 Pentagone

Konvexe Polyeder aus gleichen nicht regulären Pentagonen (Isoeder) habe ich bereits auf diesem Blog gezeigt. Es waren zwei Dodekaeder: das besondere Tetartoid und das Dodekaeder der Weaire-Phelan-Struktur. Koordinaten der Ecken der beiden Polyeder sind ganzzahlig (in der normalen Lage).

Man kann auch pentagonale Ikositetraeder mit dieser Eigenschaft finden.
Hier ein Beispiel:

Die Eckpunkte des Pentagons ABCDE haben folgende Koordinaten:

A = (0, 0, 20)
B = (9, -3, 15)
C = (15, 3, 9)
D = (10, 10, 10)
E = (3, 9, 15)

Der Normalvektor des Pentagons ABCDE:  nv = (2, 1, 3).

Unten die Projektion des Polyeders mit dem Raster:

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