Plesiohedron

Eine Dirichlet-Voronoi-Zelle eines regulären, infiniten 3D-Netzes wir auch als Plesioeder (engl. Plesiohedron) bezeichnet.
Hier zeigen wir ein Plesioeder eines sekundären 3D-Netzes mit 12 Seitenflächen: vier Deltoiden, vier kleineren und vier größeren Dreiecken. In jedem Polygon kommt der spitzen Winkel von α = 70,5288° vor. Merke: sin(α/2) = SQRT(3)/3.

Es hat eine zweifache Rotationsachse. Wie auf der Zeichnung zu sehen ist, sind alle Koordinaten dieses Polyeders in der normalen Lage ganzzahlig. Es ist natürlich ein Raumfüller.
Sechs Plesioeder bilden zwei verschiedene 3D-Kreuze. Beide sind nicht konvexe Raumfüller.

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24 Pentagone

Konvexe Polyeder aus gleichen nicht regulären Pentagonen (Isoeder) habe ich bereits auf diesem Blog gezeigt. Es waren zwei Dodekaeder: das besondere Tetartoid und das Dodekaeder der Weaire-Phelan-Struktur. Koordinaten der Ecken der beiden Polyeder sind ganzzahlig (in der normalen Lage).

Man kann auch pentagonale Ikositetraeder mit dieser Eigenschaft finden.
Hier ein Beispiel:

Die Eckpunkte des Pentagons ABCDE haben folgende Koordinaten:

A = (0, 0, 20)
B = (9, -3, 15)
C = (15, 3, 9)
D = (10, 10, 10)
E = (3, 9, 15)

Der Normalvektor des Pentagons ABCDE:  nv = (2, 1, 3).

Unten die Projektion des Polyeders mit dem Raster:

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Pentagon

Geometrische Figuren sind voll von Überraschungen. Neulich bin ich auf ein besonderes Pentagon gestoßen. Es ist aus einem Quadrat und einem gleichschenkligen Dreieck zusammengesetzt.

Mit solchen Pentagonen kann man u. a. vier verschieden Polyeder bauen:
1. Eine angespitzte dreieckige Pyramide.

2. Eine angespitzte sechseckige Pyramide

Ein 24-Flächner mit 12 Rhomben wie im Rhombendodekaeder

Ein 36-Flächner mit 24 gleichschenkligen Dreiecken.

Nur dieses Polyeder ist nicht konvex.

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Deltoidalikositetraeder

Ein relativ gut bekanntes Deltoidalikositetraeder (Deltoidikositetraeder) ist die duale Form des Rhombenkuboktaeders.
Die Anzahl möglichen Deltoidalikositetraeder ist unendlich groß. Hier zeigen wir einen besonderen Vertreter der Gruppe.

Seine wichtigste Eigenschaft: der dihedrale Winkel zwischen Deltoiden an der dreifachen Ecken beträgt 120°. Das erlaubt, dass man mit diesem Deltoidalikositetraeder reguläre, infinite Strukturen bauen kann. Dabei bilden die Mittelpunkte der Polyeder eine Diamant-Struktur. Unten sehen wir ein 3D-Kreuz aus vier solchen Polyedern.

Die Bilder unten zeigen verschiedene Ausschnitte der Struktur.
Hinweis: die blaue Deltoide fungieren als Klebeflächen.

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Das besondere Tetartoid

Vor zwei Jahren habe ich hier über Tetartoide bereits geschrieben.

Neulich bin ich auf ein interessantes Tetartoid gestoßen.

Wenn wir dieses pentagonale Dodekaeder in einen Kubus, dessen Kantenlänge 126 beträgt, einschreiben, dann sind alle Koordinaten der Ecken ganzzahlig (Integer). Die orthogonale Projektion (s. das Bild unten) zeigt noch weitere besondere Relationen  in diesem Polyeder.

Die Eckpunkte des Pentagons ABCDE haben folgende Koordinaten:

A = (-9, -27, 63)
B = (9, 27, 63)
C = (35, 35, 35)
D = (63, 9, 27)
E = (45, -45, 45)

Der Normalvektor des Pentagons ABCDE:  nv = (3, -1, 5).

Die Animation unten zeigt die Komposition von zwei gleichen Tetartoide.

Der gemeinsame Teil (der Kern, the core) der beiden Tetartoide  ist ein pentagonales Ikositetraeder. Auch dieses Polyeder hat die ganzzahlige Koordinaten der Ecken in einer normalen Lage.

Schneiden wir in diesem Polyeder dreifache Ecken ab, erhalten wir ein bekanntes, hier bereits erwähntes Polyeder und zwar ‚the rhombic propello octahedron‘.

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Drei Dodekaeder

Das platonische Dodekaeder und das Rhombendodekaeder gehören zu den Grundelementen der 3D-Geometrie und sind gut bekannt. Beide haben einzigartige Formen. Weniger bekannt sind Deltoid-Dodekaeder, obwohl sie eine interessante Polyederfamilie bilden.

Diese drei Polyeder kann man als Schnittmenge (der Kern, engl. Core) von drei Prismen bzw. Disphenoiden, deren drei Achsen senkrecht zueinander stehen, darstellen.

Das gemeinsame Teil von drei quadratischen Prismen ist ein Rhombendodekaeder.

 

Auf dem Bild oben sind die drei Prismen in einem Oktaederstumpf eingeschrieben. Das zeigt eine Verbindung zwischen den beiden Raumfüllern.

Wenn die Prismen goldene Rhomben als Grundflächen haben ist der Kern ein platonisches Dodekaeder.+

 

Diesmal wurden die Prismen in ein Rhombentriakontaeder eingeschrieben.

Wenn wir die drei Disphenoide in ein Tetraederstumpf einschreiben, ist der Kern ein Deltoid-Dodekaeder.

Die zweite Animation zeigt den Kern mit 14 Ecken und der tetraedrischen Symmetrie.

Hier als GeoGebra-Applet.

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Rhombenikosidodekaeder

60 Rhombenikosidodekaeder bilden ein Stewart-Toroid mit dem Genus 61.
Interessant ist das, dass die Hülle des Toroids auch ein Rhombenikosidodekaeder ist.

In dieser Konfiguration ist die Goldene Zahl ϕ = 1,618034  versteckt.

Ist die Kantenlänge der kleinen (goldenen) Polyedern a = 1, dann ist die Kantenlänge der Hülle  b = 2 ϕ2 = 2 (ϕ + 1) = 5,236068.

Dieses Gebilde kann man auch als ein Fraktal betrachten. Aufgrund der schnell wachsender Anzahl der Elemente, lassen sich weiter Iterationen nicht so einfach darstellen.

Die Zeichnungen unten zeigt ein Pentagon der Hülle und fünf Pentagone des Toroids. Sie ist voll von goldenen Proportionen. Wie viele kann man erkennen?

Die Variante:

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Rhombic propello octahedron

Ein Polyeder mit interessanten Eigenschaften ist ein 32-Flächner – 24 Rhomben und 8 gleichseitige Dreiecke. Der spitze Winkel in Rhomben beträgt 80,4059°.

Es wurde von Jim McNeill erwähnt: hier. Er nennt es ‚rhombic propello octahedron‘.
Es hat nicht volle oktaedrische Symmetrie – ohne Reflexionsebenen, also hat zwei chirale Formen.

Bemerkenswert ist das, dass man die Koordinate der 30 Ecken als Integer darstellen kann. Das zeigt seine Normalprojektion:

Man kann also relativ einfach seine Parameter berechnen.

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Deltaeder – Geosphäre

Das größte konvexe Deltaeder hat 20 Dreiecke, es ist das Ikosaeder. Es existieren nur 8 konvexe Deltaeder, also man kann hier nicht vom Vielfalt reden.
Die Anzahl der nicht konvexen Deltaedern ist unbegrenzt und deren Vielfalt ist enorm groß, sogar dann, wenn man sich auf reguläre Formen beschränkt.
Ich habe bereits hunderte von solchen Deltaedern gezeichnet – mit tetraedrischen, oktaedrischen, ikosaedrischen und pyritoedrischen Symmetrie, auch als infinite Strukturen, dazu infinite Deltaeder mit einer vielfachen Drehachse, darunter Helices.

Da Deltaeder aus lauter Dreiecken gebaut sind liegt eine Relation zu geodätischen Sphären nah. Proizieren wir ein nicht konvexes Deltaeder auf eine Sphäre, erhalten wir eine geodätische Sphäre. In der Regeln sind alle Ecken in geodätischen Sphären sechsfach bis auf zwölf, die nur fünffach sind. Solche Geosphären weisen meistens die ikosaedrische Symmetrie auf. Es sind aber Geosphären mit dieser Eigenschaft mit der tetraedrischen und pyritoedrischen Symmetrie möglich, auch verdrehte (twisted).

Hier einige Beispiele:

Nicht konvexe Deltaeder mit der vollen tetraedrischen Symmetrie:

76 Dreiecke

Und die entsprechende Geosphäre

120 Dreiecke

Und die entsprechende Geosphäre

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Infinite Deltaeder

Stapeln wir n-seitige halbreguläre Antiprismen aufeinander, dann können wir einen unendlich hohen Turm bauen. Da die Mantelflächen der Antiprismen aus gleichseitigen Dreiecken bestehen, bilden sie ein infinites, nicht konvexes Deltaeder. Diese Bauweise ist natürlich trivial. Man kann sie aber komplizierter machen.

Wir machen es – als Beispiel – mit dem Turm aus dreiseitigen Antiprismen, also Oktaedern.  An Dreiecken können wir Johnson Körper J12 (triangulare Bipyramide) ankleben und so ein anderes infinites, nicht konvexes Deltaeder erstellen.

Das funktioniert mit Türmen aus n-seitigen Antiprismen nicht, wenn n>3 ist.
Um das zu erreichen müssen wir zuerst die triangularen Bipyramiden modifizieren und die n-seitigen Antiprismen leicht entlang der n-fachen Drehachse stauchen.

Nehmen wir die Kantenlänge der Antiprisma als 1.
Das J12 wird so modifiziert, dass eine einzige Kante und zwar die gemeinsame Kante von zwei Dreiecken, die als Klebeflächen fungieren,  länger wird. Bezeichnen wir die neue Länge als a dann gilt:

wobei  1 < a < 1,41421356.

Die neue Höhe der n-Antiprismen mit der Kantenlänge a nach dem Stauchen kann man mit folgender Formel berechnen:

Die modifizierten n-Antiprismen haben dann zwei Kantenlängen: die Kanten der Zickzacklinie haben die Länge 1 und die Kanten der n-Gone sind a lang.

Notabene, beide Formeln wurden von Eduard Baumann aus Fribourg in der Schweiz ermittelt.

Unten Beispiele für n = 3, 5, 10 und 18. Farben unterstreichen spiralförmige Anordnung der Dreiecksgruppen.

Nachtrag

Die erste Formel lässt sich so umwandeln:

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