Tennisball-Geometrie

Geometrisch betrachtet ist ein Tennisball eine Kugel, deren Oberfläche aus zwei gleichen Teilen zsammengesetzt ist. Sie ist eine Kantenkugel eines Kubus. In klassischem Fall vier Ebenen der zwei waagerechten und zwei senkrechten Quadraten schneiden die Kugeloberfläche in vier Kreisen. Der Naht des Balles besteht aus deren vier Halbkreisen, die in Punkten A, B, C und D verbunden sind (siehe die Zeichnung  unten).

Tennisball-geometrie

Die Nahtlinie findet man als Kante bzw. als Randlinie in diesen zwei schönen Formen:

sphericyl

cone-sphericyl

Ich nenne sie ‚Sphericyl‘. Die erste Form ist dual zu Sphericon.

sphericon-spericyl

Die Tennisbälle haben verschidene „Zuschnitte“:

tennisball-1

Vier Schnittebene kann man entsprechend verdrehen und wir erhalten ein anderes Bild des Nahtes, der dann aus vier Kreisbögen bestehen, die weiterhin in Punkten A, B, C und D verbunden sind .

Tennisball-15

tennisball-2

tennisball-3

Das duale Paar von entsprechenden Formen der Nahtlinie:

dualpaar_sphericx-144

In Extremfall kann der Naht so aussehen:

tennisball-4

Natürlich, in diesem Fall ist die Kugeloberfläche in vier gleiche Teile aufgeteilt.
Die Projektion in diesem Fall sieht interessamt aus:

Tennisball-extrem

Diese Nahtlinie findet man in dieser Form (elliptisches Sphericyl):

elliptisches-sphericyl-gold

Andere Ansicht:

elliptisches-spericyl2

und ihre duale Form (elliptisches Sphericon):

elliptisches-sphericon

und beide Formen zusammen:

elliptisches-sphericon-spericyl

* * *

Mehr über das Thema kann man auf der Website von Robert FERRÉOL finden:
http://www.mathcurve.com/courbes3d/couture/couture.shtml
Sehr interessant und empfehlenswert!

 

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Tetrated Dodecahedron

In der Bibliothek des Programms Stella4D befindet sich eine Polyedergruppe, die „Near Misses“ genannt wird. Ein Polyeder aus dieser Gruppe mit 28 Seitenflächen ist interessant und wir werden es ein wenig näher betrachten.  Es wird  auf Englisch Tetrated Dodecahedron genannt, was auf Deutsch etwa tetraedrisches Dodekaeder bedeutet. Alex Doskey und Robert X. Austin haben es unabhängig voneinander gefunden (2002-2003).

Tetrated Dodeca

Reguläre Pentagone eines platonischen Dodekaeders wurden in vier Gruppen von drei Fünfecken aufgeteilt und diese entsprechend expandiert und verdreht. Dreiecke ergänzen die Oberfläche des neuen Polyeders. Vier blaue sind gleichseitig, zwölf gelbe gleichschenklig.
Der dihedrale Winkel zwischen zwei benachbarten Pentagonen beträgt 116,565°, so wie im Dodekaeder.

Enrico Bernal aus Stuttgart hat eine andere Version von diesem Polyeder gefunden und zwar ein solches, dessen Kanten alle gleichlang sind (der Gleichkanter).

Tetrated Dodeca-GK

In dieser Version sind alle Dreiecke gleichseitig, dafür sind die Pentagone nicht mehr regulär. Hier beträgt der dihedrale Winkel zwischen zwei benachbarten Pentagonen 121,897°.

Es gibt noch eine dritte Variante von diesem 28-Flächner, die ich gezeichnet habe,  wo der dihedrale Winkel zwischen zwei benachbarten Pentagonen genau 120° beträgt.

Tetrated Dodeca-120

Die Ebenen der zwölf Pentagone haben die gleiche Lage wie zwölf Rhomben im Rhombendodekaeder.

Dieses Polyeder kann infinite reguläre Strukturen und Polyeder bilden.

s12_Tetrated Dodeca-120

s12-8_Tetrated Dodeca-120

s12-4_Tetrated Dodeca_120-Pr5

s12-3_Tetrated Dodeca_120

Weitere Strukturen sind denkbar.

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Polyeder toroidal

Eine interessante Gruppe der toroidalen Polyeder, die nach gleichem Schema erzeugt wurde.  Das Prinzip beruht auf der oktaedrischen Symmetrie. Alle Gebilden können reguläre, infinite Strukturen bilden. Zwei erste haben regelmäßige Dreiecke als Seitenflächen, als kann man sie als nicht konvexe Deltaeder bezeichnen.

Toroid_P3-Ap3_768 Toroid_P5-Ap3_768

Toroid_A4-Pr6_768 Toroid_A6-Pr6_768

Entsprechende GIF-Animationen:

Toroid_P3-Ap3_384

Toroid_P5-Ap3_384

Toroid_A4-Pr6_384

Toroid_A6-Pr6_384

Toroid_A10-Pr6_384

Und hier ein Toroid nach anderem Muster:

Toroid_P4-Ap5

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Dodekaeder

Ein sechseckiges Prisma kann man so anspitzen, dass zwei ähnliche Dodekaeder entstehen.

Dodeka_n4_blau  Dodeka-n8_blau

Im ersten beträgt der dihedrale Winkel zwischen hellblauen Seitenflächen 120° und im zweiten 90°.

Beide Dodekaeder können räumliche Kreuze bilden, entsprechend: tetraedrisch  und oktaedrisch.

Cross_Dodeka_n4_blau Cross_Dodeka-n8

Aus beiden Kreuzen kann man infinite reguläre Strukturen bilden.

s4_Dodeka_n4_blau s8_Dodeka-n8

s4_Dodeka_n4 s8_Dodeka-n8

Nachtrag

Ein sechseckiges Prisma kann man auch anders anspitzen. Wir erhalten auch zwei Dodekaeder. Ein rhombisches und ein diagonal verlängerter Kubus (diagonal elongated cube) .

s4_R1-n4 s8_Cube-diagonal-elong

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Rhombic toroids

Aus goldene Rhomben kann man einige konvexe Polyeder aufbauen und aus diesen rhombischen Polyedern dann verschiedene toroidale Polyeder zusammensetzen. Unten einige Beispiele.

Toroid-1_romboeder-prolate Das ist ein Toroid aus länglichen (prolaten) Rhomboedern.

Toroid_ala_R2 12 Rhombenikosaeder in diesem Toroid.

32xR2-prolate-1x 32xR2-prolate-2x
Hier ein Toroid in zwei Ausführungen. Jeweils 32 Rhombentriakontaeder.

 

Cluster_120xR2 Und hier ein Toroid aus 120 Rhombentriakontaeder.

 

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