Ikosaeder

Von fünf platonischen Polyeder nur das Ikosaeder kann durch die Verdrehung eines anderen Polyeders entstehen. Das zeigte bereits vor Jahren   Buckminster Fuller  in der Jitterbug-Transformation.

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Die Dreiecke eines Oktaeders werden verdreht. In der Zwischenphase entsteht ein Ikosaeder und in der Endphase – ein Kuboktaeder.

Ein Ikosaeder kann auch beim gleichzeitigen Verdrehen und Ausdehnen eines Tetraeders entstehen.

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Die Verdrehung im Ikosaeder wird sichtbar, wenn man auf vier dreieckigen Seitenflächen symmetrisch Pyramiden (Tetraeder) baut.

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Infinite Polyeder

Drei unendliche regelmäßige Polyeder (engl. regular skew polyhedra oder skew apeirohedra) wurden im Jahre 1926 von John Flinders Petrie und Harold Scott MacDonald Coxeter entdeckt. Die blieben lange unbeachtet. Erst in den späten sechziger Jahren hat Alexander Frank Wells einige infinite reguläre Polyeder beschrieben.

Das einfache Polyeder vom Petrie ist aus unendlich vielen Quadraten gebaut. Das primitive kubische Gitter fungiert als das Bauschema.

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Die Quadrate teilen den Raum in zweil gleiche Teile, also der „Innenraum“ ist kongruent mit dem „Außenraum“. Auch zwei andere Polyeder vom Petrie halbieren den Raum.

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Kubus-Rhombendodekaeder

Ein Kubus kann man leicht in ein Rhombendodekaeder umwandeln. Am einfachsten so, wenn man auf jede Seitenfläche eine Quadratische Pyramide aufsetzt.

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Man kann das auch etwas komplizierter tun. Hier zeigen wir eine nicht so einfache Umwandlung.
Zuerst teilen wir jedes Quadrat des Würfels in 16 gleiche Quadrate. Insgesamt sind es 96 Quadrate.

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Die kleine Qudrate werden ein wenig modifieziert – jedoch so, dass deren Kanten sich nicht ändern. Diese Quadrate wandeln sich in Rhomben um. Zusätzlich erscheinen zwischen denen neue, schmale Rhomben (hellrot und dunkelblau). Jetzt hat unsere Figur 132 Rhomben als Seitenflächen. Die Rhomben haben fünf verschiedene Größen.

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Weaire-Phelan-Struktur

In letztem Blogeintrag habe ich erwähnt, dass die Dodekaeder-Struktur etwas mit der Weaire-Phelan-Struktur zu tun hat.

In der Weaire-Phelan-Struktur kommen zwei Polyeder vor:   ein Dodekaeder (nicht regelmäßig!) und ein 14-Flächner.

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Das Dodekaeder entsteht durch eine kleine Modifikation des platonischen Dodekaeders. Wird es in einen Kubus mit der Kantenlänge von 12 Einhaeiten eingeschrieben, werden sechs Kanten, die in Seitenflächen des Würfels liegen, so verlängert, dass die 6 Einheiten lang sind.

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Die Eckpunkten von dieser Kanten haben die Koordinaten in dieser Form: (±6,±3,0), und die Koordinaten der übrigen acht Ecken, die auf der Diagonalen des Würfels liegen, haben die Form: (±4,±4,±4). Die Länge der 24 Kanten, die sich im Kubus befinden beträgt √21 = 4,58258.

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Fünf Ikosaeder-Oktaeder-Strukturen

Das Ikosaeder kann man in einen Kubus einschreiben. Die Diagonalen des Würfels gehen durch die Mittelpunkte von acht Dreiecken des Ikosaeders (rot und blau auf dem Bild unten). An diesen Dreiecken kann man vier, sechs oder acht Oktaeder platzieren.
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Auf dieser Weise kann man fünf reguläre infinite Strukturen bauen. 3D-Netze dienen als Bauschema für diese Strukturen. Die Oktaeder fungieren hier eigentlich als Antiprismen.

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Dodekaeder-Struktur

Aus Dodekaedern kann man eine reguläre infinite Struktur bauen (s. unten einen Ausschnitt). Jedes Dodekaeder berührt ausschließlich mit Ecken acht Nachbarn (vertex to vertex). Es ist ein doroidales Polyeder

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Die Dodekaeder füllen nur ein Teil des Raumes aus. Der übrige Teil lässt sich mit einem konvexen Polyeder ausfüllen.

Frage:  wie sieht dieses Polyeder aus?

Diese Raumfüllung hat viel gemeinsam mit der bekannten Weaire-Phelan-Struktur.

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Modifikation des Triakistetraeders

Dual zum Tetraederstumpf ist das Triakistetraeder. Es ist also der kleinste catalanische Körper (C1). Interessant ist seine erste modifizierte Form, die entsteht durch das Abschneiden (engl. truncation) der vier sechszähligen Ecken. Durch die leichte Modifikation kann man erreichen, dass alle Kanten gleichlang sind (siehe unten). Es hat 16 Facetten.

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Tennisball-Geometrie

Geometrisch betrachtet ist ein Tennisball eine Kugel, deren Oberfläche aus zwei gleichen Teilen zsammengesetzt ist. Sie ist eine Kantenkugel eines Kubus. In klassischem Fall vier Ebenen der zwei waagerechten und zwei senkrechten Quadraten schneiden die Kugeloberfläche in vier Kreisen. Der Naht des Balles besteht aus deren vier Halbkreisen, die in Punkten A, B, C und D verbunden sind (siehe die Zeichnung  unten).

Tennisball-geometrie

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Tetrated Dodecahedron

In der Bibliothek des Programms Stella4D befindet sich eine Polyedergruppe, die „Near Misses“ genannt wird. Ein Polyeder aus dieser Gruppe mit 28 Seitenflächen ist interessant und wir werden es ein wenig näher betrachten.  Es wird  auf Englisch Tetrated Dodecahedron genannt, was auf Deutsch etwa tetraedrisches Dodekaeder bedeutet. Alex Doskey und Robert X. Austin haben es unabhängig voneinander gefunden (2002-2003).

Tetrated Dodeca

Reguläre Pentagone eines platonischen Dodekaeders wurden in vier Gruppen von drei Fünfecken aufgeteilt und diese entsprechend expandiert und verdreht. Dreiecke ergänzen die Oberfläche des neuen Polyeders. Vier blaue sind gleichseitig, zwölf gelbe gleichschenklig.
Der dihedrale Winkel zwischen zwei benachbarten Pentagonen beträgt 116,565°, so wie im Dodekaeder.

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