Hinweis II: bekanntes Hendecahedron von Guy Inchbald füllt den Raum schichtweise, also nicht regulär (keine gleichwertige Translationen in drei senkrecht zueinander Richtungen).
Eine interessante Variante eines Polyeders vom Typ „propello“, und zwar vom ‚Propello Dodecahedron‘. 12 Pentagone und 60 Deltoide sind seine Flächen.
Es hat eine interessante Eigenschaft: zwei gegenüberliegende Pentagone haben gleiche Orientierung, man kann also 6 pentagonalen Prismen ins Polyeder einschreiben.
Der gemeinsame Teil der Prismen ist ein Rhombentriakontaeder.
Mit dieser Variante des Propello Dodecahedra kann man reguläre infinite Strukturen und toroidale Polyeder bilden. Unten drei Beispiele.
Unauffälliges, aber ein interessantes Polyeder vom Typ „propello“. 4 gleichseitige Dreiecke und 12 gleiche Vierecke sind seine Flächen. Es hat zwei chirale Formen und tetraedrische Symmetrie.
Unten ein Teil des Netzes mit den wichtigen Parameter. Vierecke sind aus zwei gleichschenkligen Dreiecken zusammengesetzt.
Es ist zu sich selbst dual.
Und noch eine interessante Eigenschaft: solche Polyeder bilden eine reguläre infinite Struktur, deren Schema die Diamant-Struktur ist. Unten ein kleiner Ausschnitt. Die grüne Dreiecke fungieren als Klebeflächen.
Noch ein größerer Ausschnitt:
und zum Vergleich der gleiche Ausschnitt ohne Klebeflächen.
Das nicht reguläre Dodekaeder, das in der Weaire-Phelan-Struktur vorkommt, hat eine interessante Eigenschaft: die Koordinaten der Ecken können ganzzahlig (Integer) sein. Es hat pyritoedrische Symmetrie.
Gibt es weitere Dodekaeder mit dieser Eigenschaft? Die Antwort lautet “ja“. Im Allgemeinfall haben wir mit zwei Variablen zu tun: a und b.
Eine 2D-Zeichnung (die Projektion) reicht uns, um das Problem zu lösen. Variable c wird von a und b bestimmt und d = a – b.
Entsprechende ähnliche Dreiecke führen zu dieser diophantischen Gleichung:
c = a2 / (a + b)
Mit kleinem Computer-Programm kann man primitive Lösungen finden (siehe einige Beispiele in der Tabelle). Es gibt also beliebig viele pyritoedrischen Dodekaeder mit dieser Eigenschaft.
Geraden können auch im 3D-Raum reguläre Gitter (3D-Nätze) bilden. Sie sollen alle Knotenpunkte gleich haben, alle Bindungen sollen gleich lang sein und sie sollen tetra- oder oktaedrische Symmetrie haben.
Mir sind neun solche Gitter bekannt, drei davon sind bekannte Grundnetze und die restliche – deren Unternetze.
1. N6, Knoten mit drei Geraden, oktaedrische Symmetrie
2. N6-4p, Knoten mit zwei Geraden, tetraedrische Symmetrie
3. N8, Knoten mit vier Geraden, oktaedrische Symmetrie
4. N8-4p, Knoten mit zwei Geraden, tetraedrische Symmetrie
5. N12, Knoten mit sechs Geraden, oktaedrische Symmetrie
6. N12-8, Knoten mit vier Geraden, oktaedrische Symmetrie
7. N12-6, Knoten mit drei Geraden, tetraedrische Symmetrie
8. N12-6p, Knoten mit drei Geraden, tetraedrische Symmetrie
9. N12-4p, Knoten mit zwei Geraden, tetraedrische Symmetrie
Gibt es weitere reguläre Gitter im 3D-Raum? – diese Frage ist offen.
Hier zeigen wir zwei andere Beispiele, wie ein Kubus in 12 kongruente Teile aufgeteilt werden kann, die zu anderen Raumfüller mit 10 Flächen führen.
Auf dem Bild unten sehen wir eine Unterteilung einer Wand. So geteilter Kubus hat pyritoedrische Symmetrie.
Dabei ist 0 < p < 1 und q = 1 – p.
Im ersten Beispiel ist p = φ, also die kleine goldene Zahl (φ = 0,618034).
Der aufgeteilte Kubus, ohne einen Teil, sieht so aus:
Entsprechender Dekaeder hat zwei verschiedene Rhomben.
Daraus resultieren zwei verschiedene nicht konvexe Cluster aus 12 Teilen bilden, die jeweils Raumfüller sind. Jeder Cluster hat 60 Flächen.
Und die entsprechende reguläre Raumfüllung mit pyritoedrischer Symmetrie:
Auch dieser Dekaeder fungiert als Dirichlet-Voronoi-Zelle einer anderen Raumfüllung mit drei Prototeilen: platonisches Ikosaeder, modifiziertes Ikosaeder und gestauchtes Disphenoid. Der Spitzwinkel in gleichschenkligen Dreiecken beträgt 36°.
* * *
Im zweiten Beispiel ist der Kubus anders in 12 gleiche Teile aufgeteilt, diesmal ohne Symmetrieebenen:
Ein Teil und sein chirales Pendant bilden weiteren Raumfüller mit 10 Flächen:
Ein Cluster aus 12 Dekaeder ist ein nicht konvexer Raumfüller mit 60 Flächen:
Diese Raumfüllung hat auch pyritoedrische Symmetrie.
Bekannt ist ein Zehnflächner aus zwei Rhomben und acht chiral gleichen Dreiecken, der 3D-Raum regulär ausfüllt. Michael Goldberg hat ihn „the ten-of-diamonds decahedron“ genannt (1982).
Der Spitzwinkel in Rhomben beträgt w = 2arctan(0.5) = 53,13°. Koordinaten der Eckpunkte in normaler Lage sind ganzzahlig (Integer).
12 solche Polyeder bilden einen nicht konvexen Cluster mit 60 Flächen.
Auch dieser Cluster kann der 3d-Raum füllen.
Es ist offensichtlich, dass diese Raumfüllung regulär ist (mit pyritoedrischer Symmetrie).
Dieser Zehnflächner (das Dekaeder) gehört zu unendlich großer Familie der Raumfüller mit 10 Flächen, die vom dem Kubus abgeleitet sind.
Man kann dieses Dekaeder symmetrisch halbieren und wir erhalten zwei Siebenflächner (Heptaeder).
Mit 12 solchen Heptaeder kann man ein Kubus bilden.
Man kann den Kubus auch anders aufteilen und wir bekommen ein anderes Heptaeder und folglich ein anderes Dekaeder.
Mehr dazu im nächsten Beitrag.
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Nachtrag
Dieses Dekaeder ist die Dirichlet-Voronoi-Zelle einer anderen Raumfüllung.
Alle Ecken dieser Raumfüllung sind gleich. In jeder Ecke treffen sich zehn Kanten, die zwei verschiedene Längen haben. Alle Kanten bilden ein 3d-Netz.
In der Zeitschrift für Kristallographie im Jahre 2006 wurde die Arbeit, von Prof. Werner Fischer und von mir, mit dem Titel „A novel series of sphere packings with arbitrarily low density“ veröffentlicht. Das Prinzip aus dieser Arbeit lässt sich auch auf eine reguläre infinite Struktur anwenden.
Es ist eine Struktur aus oktagonalen Prismen und Kuben, die als quadratische Prismen fungieren.
Charakteristisch für diese Struktur ist so eine Zelle:
Alle Ecken der Struktur sind chiral gleich. Als Bauschema dient hier das 3D-Netz, das ich als n6-4p bezeichne, mit vierfachen Knotenpunkten. Es ist ein Unternetz des kubischen Netzes (n6)
Diese Struktur füllt ca. 12,87% des Raumes aus. Ähnlich wie in der erwähnten Arbeit kann man diese Struktur stufenweise „verdünnen“, so dass sie immer weniger Raum ausfüllt.
In der 2. Stufe sieht sie so aus:
Und in den nächsten Stufen so:
3. Stufe4. Stufe
Mit dieser Prozedur kann man eine beliebig kleine Dichte der Struktur erreichen.
Die Elementarzelle der Struktur in jeder Stufe ist ein Kubus. Unten sehen wir ein Beispiel für die Stufe 3 (n=3). Die Elementarzelle ist rot dargestellt. Wenn die Kantenlänge der Prismen a=1 beträgt, dann hat die Kante der Elementarzelle in der n-te Stufe die Länge k(n) = (n +1)·(2 + √2).
Um die Dichte zu ermitteln reicht es, wenn wir das Verhältnis des Volumens der Struktur zum Volumen der Elementarzelle zu berechnen. Die Formel für die Dichte in der n-te Stufe ist:
Man kann leicht erkennen, dass je größer die Zahl n ist, desto kleiner ist die Dichte d. Die untere Grenze für d ist null.
Die Kugelpackung am Anfang erwähnten Artikel ist lose – jede Kugel berührt drei benachbarte Kugel. Die hier gezeigte Struktur kann in jeder Stufe als Schema für Kugelpackungen fungieren, die an der Grenze zwischen losen und stabilen Kugelpackungen liegen. Jede Kugel hat vier Nachbarn.
Kugelpackung, 2. Stufe
Wir haben also eine neue, zweite Serie von Kugelpackungen mit beliebig kleiner Dichte.
Geometryka 