Zwei Serien von toroidalen Polyedern

Ikosaeder und Oktaeder (die als Antiprismen fungieren) sind Bausteine für ein interessantes Toroid mit ikosaedrischen Symmetrie. 880 Dreiecke sind sichtbar, also ist es ein toroidales Deltaeder. Sein Genus beträgt 29.

Man kann dieses Toroid expandieren.

Jetzt sind es 3400 Dreiecke und das Genus beträgt 119.

Man kann es weiter nach und nach expandieren – beliebig groß. Wir erhalten eine Serie von toroidalen Polyedern.
Die Mittelpunkte der grünen Ikosaeder bilden ein Dodekaeder.

Mit n bezeichnen wir die Anzahl der Ikosaeder an einer Kante des Dodekaeders, wobei n ≥ 2.

Unten werden Projektionen der Toroide für die Fälle n = 2 bis 5 gezeigt.

n = 2, Genus 29
n = 3, Genus 119
n = 4, Genus 269
n = 5, Genus 479

Die zweite Serie wird aus Dodekaedern und fünfseitigen Antiprismen bebaut.

Im ersten Fall beträgt das Genus 29 und im zweiten Fall 119, gleiche Werte wie in der ersten Serie.

Unten werden Projektionen der Toroide für die Fälle n = 2 bis 4 gezeigt.

n = 2, Genus 29
n = 3, Genus 119
n = 4, Genus 269

Die Mittelpunkte der grünen und gelben Dodekaeder bilden ein Rhombentriakontaeder.

Genus-Werte in beiden Serien sind für gleiche n gleich.

Die Formel dafür sieht so aus:

Es ist so, weil Dodekaeder und Rhombentriakontaeder morphologisch ähnlich gebaut sind und zwar aus 60 Dreiecken. Das zeigt die Animation unten.

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Siebenecke

Allgemein bekannt ist, dass man im regulären Pentagon Goldene Proportionen vorfindet.

Es ist erstaunlich, dass auch Siebenecke etwas Gemeinsames mit der Goldenen Zahl haben. Es handelt sich aber nicht um Proportionen, sondern um die Anzahl der Siebenecke.

Vor einigen Jahren hat M. Gardner und H. Steinhaus (Mathematical Snapshots) eine nicht reguläre Bedeckung der Ebene mit konvexen Siebenecken erwähnt.
Es ist eine radiale ringförmige Anordnung der Siebenecke, wobei alle Knotenpunkte dreifach sind.

Das mittlere Siebeneck ist von einem Ring von sieben Siebenecken umgeben.
Der zweite Ring besteht aus 21 Siebenecken, der dritte aus 56, der vierte aus 147 und so weiter.
Wie viele Siebenecke beinhaltet der n-te Ring?

Um das zu berechnen teilen wir diese Bedeckung in sieben Sektoren auf.

Jetzt haben wir entsprechend: 1, 3, 8, 21, 55 usw. Siebenecken pro Ring.
Für den n-ten Ring innerhalb des Sektors erhalten wir:

a(n) = 3a(n – 1) – a(n – 2) ,
wobei  n > 2a(1) = 1  und  a(2) = 3  ist.

Das ist die Folge A001906 in OEIS:
1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765 … 

Es ist die Bisektion der Fibonacci-Folge (jeder zweite Wert).
Der Quotient zweier aufeinander folgender Zahlen dieser Folge nähert sich dem Quadrat der kleinen Goldenen Zahl φ an.

Notabene, in dieser Bedeckung der Ebene jedes Siebeneck hat sieben Nachbarn. Mit Hilfe der eulerschen Formel kann man aber nachweisen, dass die mittlere Zahl der Nachbarn einer Parkettierung der Ebene mit dreifachen Knotenpunkten 6 beträgt (siehe: hier). Ein Paradox also?

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Zwei Prismen

Das Bild zeigt zwei Prismen – ein vier- und  ein sechseckiges, die symmetrisch angespitzt sind. Das viereckige mit gleichschenkligen Dreiecken mit dem Spitzwinkel von 70,5288°, wie im Rhombus des Rhombendodekaeders. Das sechseckige mit Quadraten. Der Spitzwinkel in Rhomben von beiden Prismen beträgt 60°.

Es ist offensichtlich, dass sechseckige Prismen den Raum lückenlos ausfüllen können, ähnlich wie Bienenwaben, also schichtweise.

Frage: können beide Prismen zusammen den Raum regulär lückenlos ausfüllen?
„Regulär“ bedeutet hier das, dass die Raumfüllungen drei gleichwertige Translationen in drei senkrecht zueinander Richtungen aufweisen.

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Tetrated Dodecahedron – Space filling

Über tetrated Dodecahedron habe ich hier vor fünf Jahren bereits geschrieben – Link. Diesmal werden wir uns mit einer interessanten Modifizierung des Polyeders beschäftigen. Es sieht so aus:

Alle Dreiecke sind jetzt gleichseitig, die einzelne lila Dreiecke sind linear um ca. 5,66% größer als die blaue, die Paare bilden. Pentagone sind nicht mehr regulär, wichtig dabei ist – die dihedralen Winkel zwischen zwei benachbarten Pentagonen betragen 120°.

Das Polyeders hat tetraedrische Symmetrie und man kann es als Baustein für infinite symmetrische 3D-Strukturen verwenden. Unten zwei Beispiele.

Vertiefungen und Lücken kann man mit Tetraedern und mit sternförmigen Clustern aus fünf Tetraeder ausfüllen.

Wir erhalten eine lückenlose Raumfüllung.

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Plesiohedron

Eine Dirichlet-Voronoi-Zelle eines regulären, infiniten 3D-Netzes wird auch als Plesioeder (engl. Plesiohedron) bezeichnet.
Hier zeigen wir ein Plesioeder eines sekundären 3D-Netzes mit 12 Seitenflächen: vier Deltoiden, vier kleineren und vier größeren Dreiecken. In jedem Polygon kommt der spitzen Winkel von α = 70,5288° vor. Merke: sin(α/2) = SQRT(3)/3.

Es hat eine zweifache Rotationsachse. Wie auf der Zeichnung zu sehen ist, sind alle Koordinaten dieses Polyeders in der normalen Lage ganzzahlig. Es ist natürlich ein Raumfüller.
Sechs Plesioeder bilden zwei verschiedene 3D-Kreuze. Beide sind nicht konvexe Raumfüller.

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24 Pentagone

Konvexe Polyeder aus gleichen nicht regulären Pentagonen (Isoeder) habe ich bereits auf diesem Blog gezeigt. Es waren zwei Dodekaeder: das besondere Tetartoid und das Dodekaeder der Weaire-Phelan-Struktur. Koordinaten der Ecken der beiden Polyeder sind ganzzahlig (in der normalen Lage).

Man kann auch pentagonale Ikositetraeder mit dieser Eigenschaft finden.
Hier ein Beispiel:

Die Eckpunkte des Pentagons ABCDE haben folgende Koordinaten:

A = (0, 0, 20)
B = (9, -3, 15)
C = (15, 3, 9)
D = (10, 10, 10)
E = (3, 9, 15)

Der Normalvektor des Pentagons ABCDE:  nv = (2, 1, 3).

Unten die Projektion des Polyeders mit dem Raster:

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Pentagon

Geometrische Figuren sind voll von Überraschungen. Neulich bin ich auf ein besonderes Pentagon gestoßen. Es ist aus einem Quadrat und einem gleichschenkligen Dreieck zusammengesetzt.

Mit solchen Pentagonen kann man u. a. vier verschieden Polyeder bauen:
1. Eine angespitzte dreieckige Pyramide.

2. Eine angespitzte sechseckige Pyramide

Ein 24-Flächner mit 12 Rhomben wie im Rhombendodekaeder

Ein 36-Flächner mit 24 gleichschenkligen Dreiecken.

Nur dieses Polyeder ist nicht konvex.

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Deltoidalikositetraeder

Ein relativ gut bekanntes Deltoidalikositetraeder (Deltoidikositetraeder) ist die duale Form des Rhombenkuboktaeders.
Die Anzahl möglichen Deltoidalikositetraeder ist unendlich groß. Hier zeigen wir einen besonderen Vertreter der Gruppe.

Seine wichtigste Eigenschaft: der dihedrale Winkel zwischen Deltoiden an der dreifachen Ecken beträgt 120°. Das erlaubt, dass man mit diesem Deltoidalikositetraeder reguläre, infinite Strukturen bauen kann. Dabei bilden die Mittelpunkte der Polyeder eine Diamant-Struktur. Unten sehen wir ein 3D-Kreuz aus vier solchen Polyedern.

Die Bilder unten zeigen verschiedene Ausschnitte der Struktur.
Hinweis: die blaue Deltoide fungieren als Klebeflächen.

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Das besondere Tetartoid

Vor zwei Jahren habe ich hier über Tetartoide bereits geschrieben.

Neulich bin ich auf ein interessantes Tetartoid gestoßen.

Wenn wir dieses pentagonale Dodekaeder in einen Kubus, dessen Kantenlänge 126 beträgt, einschreiben, dann sind alle Koordinaten der Ecken ganzzahlig (Integer). Die orthogonale Projektion (s. das Bild unten) zeigt noch weitere besondere Relationen  in diesem Polyeder.

Die Eckpunkte des Pentagons ABCDE haben folgende Koordinaten:

A = (-9, -27, 63)
B = (9, 27, 63)
C = (35, 35, 35)
D = (63, 9, 27)
E = (45, -45, 45)

Der Normalvektor des Pentagons ABCDE:  nv = (3, -1, 5).

Die Animation unten zeigt die Komposition von zwei gleichen Tetartoide.

Der gemeinsame Teil (der Kern, the core) der beiden Tetartoide  ist ein pentagonales Ikositetraeder. Auch dieses Polyeder hat die ganzzahlige Koordinaten der Ecken in einer normalen Lage.

Schneiden wir in diesem Polyeder dreifache Ecken ab, erhalten wir ein bekanntes, hier bereits erwähntes Polyeder und zwar ‚the rhombic propello octahedron‘.

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Drei Dodekaeder

Das platonische Dodekaeder und das Rhombendodekaeder gehören zu den Grundelementen der 3D-Geometrie und sind gut bekannt. Beide haben einzigartige Formen. Weniger bekannt sind Deltoid-Dodekaeder, obwohl sie eine interessante Polyederfamilie bilden.

Diese drei Polyeder kann man als Schnittmenge (der Kern, engl. Core) von drei Prismen bzw. Disphenoiden, deren drei Achsen senkrecht zueinander stehen, darstellen.

Das gemeinsame Teil von drei quadratischen Prismen ist ein Rhombendodekaeder.

 

Auf dem Bild oben sind die drei Prismen in einem Oktaederstumpf eingeschrieben. Das zeigt eine Verbindung zwischen den beiden Raumfüllern.

Wenn die Prismen goldene Rhomben als Grundflächen haben ist der Kern ein platonisches Dodekaeder.+

 

Diesmal wurden die Prismen in ein Rhombentriakontaeder eingeschrieben.

Wenn wir die drei Disphenoide in ein Tetraederstumpf einschreiben, ist der Kern ein Deltoid-Dodekaeder.

Die zweite Animation zeigt den Kern mit 14 Ecken und der tetraedrischen Symmetrie.

Hier als GeoGebra-Applet.

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