Deltaeder

Es existieren 8 konvexe Deltaeder, drei davon sind regulär –  drei platonische Körper: Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder. Die übrige fünf sind die Johnson-Körper: J12, J13, J17, J51 und J84.

Die Anzahl von nicht konvexen Deltaeder ist unendlich groß. Sie sind jedoch interessant, besonders die, die regulär sind.

Regulär bedeutet hier das, dass diese Polyeder drei gleichwertige, zueinander senkrechte Rotationsachsen haben.

Fünf solche Deltaeder können wir einfach aus platonischen Körpern erzeugen. Auf jeden Körper setzen  wir Pyramiden, deren Mantelflächen gleichseitige Dreiecke sind.

Es ist bekannt, dass einige konvexe Polyeder nicht starr (rigide) sind. Sie werden als beweglich (flexibel, instabil, wackelig und ‚shaky‘) bezeichnet. Bekannt und interessant ist hier das Goldberg-Ikosaeder, das multistabil ist.

Ich vermute, dass die drei Deltaeder aus dem ersten Bild stabil (rigid) sind. Nicht aber das Deltaeder mit 24 Dreiecken, die auf einem Kubus aufgebaut wurden. Es hat die oktaedrische Symmetrie. Es kann so transformiert werden, dass es danach die tetraedrische Symmetrie hat. Die entsprechende Transformation zeigt die Animation unten.

Auch das Deltaeder mit 60 Dreiecken, die auf einem Dodekaeder aufgebaut wurden, ist nicht stabil. Es hat die ikosaedrische Symmetrie. Es kann so transformiert werden, dass es danach die pyritoedrische Symmetrie hat. Die entsprechende Transformation zeigt die Animation unten.

Die beiden Animationen sind virtuell. Ob sie mit reellen Modellen (z. B. aus Papier) ähnlich verlaufen? – das habe ich nicht ausprobiert.

Siehe auch hier.

Advertisements
Veröffentlicht in 3D

Tetartoid

Das Tetartoid ist ein unauffälliges und wenig bekanntes Dodekaeder. Auf Wikipedia kann mehr darüber erfahren: hier.

Hier stelle ich zwei interessante Varianten des Tetartoids, die ich neulich gefunden habe. Eine ist mit der Goldenen Zahl  und die andere mit der Tribonacci-Konstante verknüpft.

Die Seitenflächen eines Tetartoids sind gleiche, nicht reguläre Pentagone. Mich interessierten die Fälle, wo zwei Seiten des Pentagons parallel sind.

Unten das erste Beispiel.

Es hat einige interessante Eigenschaften. Die Winkel zwischen kurzen Kanten betragen 90°. Der spitze Winkel im Pentagon ist genauso groß, wie ein spitzer Winkel im goldenen Rhombus, also 63,4349°.  In diesem Tetartoid kommen drei verschiedene Dihedralwinkel vor.  Alle sind ganzzahlig, und zwar 90°, 108° und 144°. In der Normalprojektion finden wir die Goldene Proportionen.

Wobei  φ = (√5 – 1)/2 = 0,61083.

Weiterlesen

Veröffentlicht in 3D

Prismen – Antiprismen

Auf jedem von vier gleichseitigen Dreiecken des Tetraeders können wir eine Prisma oder eine Antiprisma aufbauen und so erhalten wir zwei verschiedene vierarmige räumliche Kreuze.

Analog machen wir das mit dem Oktaeder und wir erhalten achtarmige Kreuze.

Aus diesen Formen können wir reguläre infinite Strukturen bauen.

Bemerkung: sich die komplementäre Strukturen vorzustellen – das ist bestimmt nicht einfach. Man muss sie zeichnen oder bauen.

Weiterlesen

Veröffentlicht in 3D

Heptaeder

Das fünfeckige Prisma und die sechseckige Pyramide – das sind bekannteste Siebenflächner (Heptaeder). Insgesamt sind 34 verschiedene konvexe Heptaeder bekannt.

Interessant ist ein Heptaeder, dessen Grundrisse und Axonometrie wir unten sehen.

Vier solche Polyeder bilden eine räumliche Konstruktion. Achten wir darauf,  dass die beide Sechsecke-Paare senkrecht zueinander stehen.

Das führt zu einer regulären Struktur.

Weiterlesen

Veröffentlicht in 3D

Twisted Polyhedra

Es gibt acht konvexe Deltaeder – Polyeder, die aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken gebaut sind. Nicht konvexen Deltaeder gibt es unendlich viele. Eine  interessante Gruppe bilden windschiefe Polyeder (engl. skew or twisted polyhedra), die von drei platonischen Körpern mit dreieckigen Seitenflächen abgeleitet sind. Erste Beispiele habe ich neulich gefunden.

Das einfachste twisted Tetraeder entsteht aus einem Ikosaeder. Auf vier Seitenflächen des Ikosaeders bauen wir Pyramiden aus gleichseitigen Dreiecken. Wir achten dabei, dass die dreifache Drehachsen weiter in der tetraedrischen Symmetrie bleiben. Die neue Figur hat keine Symmetrieebenen mehr. Das wurde bereit in einem früheren Beitrag (Ikosaeder) erwähnt.

Man kann leicht erkennen, dass dieses Polyeder verdreht ist (twisted oder snub polyhedron), also es hat die zweite chirale Form.
Zwei archimedische Körper sind verdreht: abgeschrägtes Hexaeder (cubus simus, engl. snub cube) und abgeschrägtes Dodekaeder (dodecaedron simum, engl. snub dodecahedron). Das abgeschrägte Tetraeder ist eben das Ikosaeder. Das ist in der Jitterbug-Transformation zu sehen.

Aus abgeschrägtem Hexaeder entsteht das einfachste twisted Oktaeder und aus aus abgeschrägtem Dodekaeder entsteht das einfachste twisted Ikosaeder. Man baut auf quadratischen bzw. pentagonalen Seitenflächen entsprechende Pyramiden.

 

Weiterlesen

Veröffentlicht in 3D

Rhombenkuboktaeder und Prismen

Oft lohnt es sich eine geometrische Figur genauer zu betrachten oder damit zu spielen. So ist es z. B. im Falle der Raumfüllung mit den großen Rhombenkuboktaeder (A6) und achteckigen  Prismen (Pr8).

Entfernen wir alle Prismen, dann bilden Rhombenkuboktaeder eine reguläre, infinite Struktur. Ihre Mittelpunkte bilden ein 3D-Netz, das ich n8 nenne.

Weiterlesen

Veröffentlicht in 3D

Rhombendodekaeder-Strukturen

Rhombendodekaeder füllen den Raum lückenlos aus, das ist allgemein bekannt. Deren Mittelpunkte bilden ein reguläres 3D-Netz, das ich n12 nenne.

Die Rhombendodekaederstruktur, die ich im vorletzten Beitrag gezeigt habe füllt nur die Hälfte des Raumes aus. Das ist nicht die einzige reguläre Anordnung der Rhombendodekaedern die den Raum „halbiert“. Das bedeutet, dass die Struktur und die komplementäre Struktur kongruent sind. Unten noch ein Beispiel. Ich weiss es nicht, ob es weitere Beispiele gibt.

Weiterlesen

Veröffentlicht in 3D

Die Diamantstruktur

Vor etwa 50 Jahren habe ich im Buch  von D. Hilbert und S. Cohn-Vossen „ Anschauliche Geometrie“ zum ersten Mal etwas über die Diamantstruktur gelesen und ich war fasziniert.

Sie ist ein wichtiges Gebilde der 3D-Geometrie. In Kristallen, Kugelpackungen, infiniten Polyedern und in anderen geometrischen und räumlichen Objekten kommt sie  vor.

Sie ist sehr interessant. Im vorherigen Artikel haben wir ihre Zusammenhänge mit dem Rhombendodekaeder gezeigt. Hier wollen wir sie vor allem als ein 3D-Netz (Knotenpunkte und Bindungen) ansehen. In allen Knotenpunkten treffen sich vier Bindungen.

Weiterlesen

Veröffentlicht in 3D

Diamantstruktur und Rhombendodekaeder

In sechzigen Jahren habe ich mein erstes reguläres, infinites Polyeder aus Rhombendodekaedern gebaut.

Es ist nach dem Schema der Diamantstruktur gebaut. Diese infinite Form füllt die Hälfte des Raumes aus. Die zweite Hälfte ist kongruent. Das liegt darin, dass die 3D-Netz, als Diamantstruktur, dual mit sich selbst ist. Man sagt, das diese zwei 3D-Netze interpenetrieren sich.

Weiterlesen

Veröffentlicht in 3D

Das Rhombentriakontaeder und die toroidale Polyeder

Das Rhombentriakontaeder ist aus 30 goldenen Rhomben gebaut. Man kann es in einen Kubus eischreiben. Sechs Rhomben liegen dann in den Ebenen, die den Kubus bilden.

Es existiert auch konkave Form des Rhombentriakontaeders. 24 Rhomben  der konvexen Form werden sozusagen „eingedrückt“.

Beide Polyeder zusammen füllen den Raum regulär aus.

Weiterlesen

Veröffentlicht in 3D