Ciekawa rodzina brył wypełniających przestrzeń

Znanym sposobem tworzenia płytek wypełniających płaszczyznę jest przekształcanie kwadratu. Przy dwóch bokach wycinamy część kwadratu i przyklejamy je na zewnątrz do pozostałych boków. Pokazuje to rysunek:

Kwadrat-mod

Tak utworzoną płytką możemy wypełnić płaszczyznę na dwa sposoby:

Parkiet-1 Parkiet-2

 

Wyjściowy kwadrat można wyciąć przy innej parze boków:

Kwadrat-mod2

Jakie parkietaże można zbudować z takich płytek?

Oczywiście, może to czynić na nieskończenie wiele sposobów.

Podobnie możemy postąpić w przestrzeni trójwymiarowej z sześcianem.
W przykładzie poniżej wycięto i przyklejono czworokątne ostrosłupy:

cube-mod

Oczywiście, tą bryłą możemy wypełnić przestrzeń i to regularnie.

HC_cube-mode

Zauwaśmy, że ten układ 8 zmodyfikowanych sześcianów jest „wypełniaczem“ przestrzeni. Jest ograniczony przez 96 trójkątów, ale ponieważ niektóre pary sąsiednich trójkątów leżą na tej samej płaszczyźnie tworząc romby, to faktycznie jest to 72-ścian wklęsło-wypukły.

72-scian

Zamiast ostrosłupów możemy użyć innych form np. powierzchni cylindracznych i otrzymamy bryłę wypełniającą regularnie  przestrzeń:

3cyl-core_mod

Ale takie formy można uzyskać też inaczej. Guy Inchbald pokazał na swojej stronie internetowej dwunastścian rombowy w którym dwa przeciwległe wierzchołki czterokrotne zostały „wciśnięte“ do środka. Czyniąc tak z trzema sąsiednimi wierzchołkami czterokrotnymi otrzymamy taką bryłę:

R1-mod

Jest to połowa dwunastościanu rombowego. Ciekawy jest fakt, że tą bryłą możemy wypełnić regularnie  przestrzeń na dwa sposoby.

Gdy postąpimy podobnie z dwunastościanem foremnym to otrzymamy taką bryłę:

P4-mod

Zaskakujące, ale to jest wielościan, którym możemy wypełnić regularnie  przestrzeń!

Również inne bryły można podobnie przekształcać. Poniżej dwa przykłady zmodyfikowanego czternastościanu półferemnego (ośmiościan ścięty):

A4-mod2

A4-mod

O wypełnianiu przestrzeni także tu:   http://www.3doro.de/space-filling/ (po niemiecku).

Veröffentlicht in 2D, 3D

Linie, punkty i kąty

Ciekawe konstrukcje geometryczne z liniami, punktami i kątami

g4574Od jakiegoś czasu dostaję pytania jak skonstruować punkt lub odcinek przecinający dwie inne linie i posiadający pewne dodatkowe własności. Ma to związek z problemem o czterech prostych, którego rozwiązanie zamieściłem na tym blogu jakiś czas temu. Pomyślałem więc, że może warto rozwinąć nieco ten temat i pokazać kilka prostych konstrukcji o zbliżonym charakterze. Oto one.  Weiterlesen

Cztery proste

Problem o czterech prostych

Kiedyś Tadeusz przysłał mi taki problem: dane są trzy proste wychodzące z jednego punktu, skonstruuj czwartą prostą tak, aby po przecięciu się z trzema prostymi odcinały się na niej odcinki równej długości.

Problem ten, na pierwszy rzut oka, sprawia wrażenie bardzo trudnego zadania, do którego trzeba użyć konstrukcji typu neusis. Pokazane poniżej rozwiązanie jest jednak elementarne (bez neusis) i wymaga niewielkiej znajomości własności równoległoboków. Tylko tyle wystarczy aby rozwiązać ten problem.    Weiterlesen