Pyritoedrische Dodekaeder

Das nicht reguläre Dodekaeder, das in der Weaire-Phelan-Struktur vorkommt, hat eine interessante Eigenschaft: die Koordinaten der Ecken können ganzzahlig (Integer) sein. Es hat pyritoedrische Symmetrie.

Gibt es weitere Dodekaeder mit dieser Eigenschaft?
Die Antwort lautet “ja“.
Im Allgemeinfall haben wir mit zwei Variablen zu tun: a und b.

Eine 2D-Zeichnung (die Projektion) reicht uns, um das Problem zu lösen.
Variable c wird von a und b bestimmt und d = a – b.

Entsprechende ähnliche Dreiecke führen zu dieser diophantischen Gleichung:

c = a² / (a + b)

Mit kleinem Computer-Programm kann man primitive Lösungen finden (siehe einige Beispiele in der Tabelle). Es gibt also beliebig viele pyritoedrischen Dodekaeder mit dieser Eigenschaft.

Geraden-Gitter I

Geraden bilden auf einer Ebene drei reguläre Gitter:

1. Quadratisches Netz

2. Dreiecksetz

3. Trihexagonales Netz

Im ersten Fall haben wir zwei verschiedene vierfache Rotationspunkte.
In beiden anderen Fällen drei- und sechsfache Rotationspunkte.

Wie sieht es mit regulären Geraden-Gitter im 3D-Raum?

Siebenecke

Allgemein bekannt ist, dass man im regulären Pentagon Goldene Proportionen vorfindet.

Es ist erstaunlich, dass auch Siebenecke etwas Gemeinsames mit der Goldenen Zahl haben. Es handelt sich aber nicht um Proportionen, sondern um die Anzahl der Siebenecke.

Vor einigen Jahren hat M. Gardner und H. Steinhaus (Mathematical Snapshots) eine nicht reguläre Bedeckung der Ebene mit konvexen Siebenecken erwähnt.
Es ist eine radiale ringförmige Anordnung der Siebenecke, wobei alle Knotenpunkte dreifach sind.

Das mittlere Siebeneck ist von einem Ring von sieben Siebenecken umgeben.
Der zweite Ring besteht aus 21 Siebenecken, der dritte aus 56, der vierte aus 147 und so weiter.
Wie viele Siebenecke beinhaltet der n-te Ring?

Um das zu berechnen teilen wir diese Bedeckung in sieben Sektoren auf.

Jetzt haben wir entsprechend: 1, 3, 8, 21, 55 usw. Siebenecken pro Ring.
Für den n-ten Ring innerhalb des Sektors erhalten wir:

a(n) = 3a(n – 1) – a(n – 2) ,
wobei  n > 2,  a(1) = 1  und  a(2) = 3  ist.

Das ist die Folge A001906 in OEIS:
1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765 … 

Es ist die Bisektion der Fibonacci-Folge (jeder zweite Wert).
Der Quotient zweier aufeinander folgender Zahlen dieser Folge nähert sich dem Quadrat der kleinen Goldenen Zahl φ an.

Notabene, in dieser Bedeckung der Ebene jedes Siebeneck hat sieben Nachbarn. Mit Hilfe der eulerschen Formel kann man aber nachweisen, dass die mittlere Zahl der Nachbarn einer Parkettierung der Ebene mit dreifachen Knotenpunkten 6 beträgt (siehe: hier). Ein Paradox also?

Sześciany – cubes

Linie, punkty i kąty

Ciekawe konstrukcje geometryczne z liniami, punktami i kątami

Od jakiegoś czasu dostaję pytania jak skonstruować punkt lub odcinek przecinający dwie inne linie i posiadający pewne dodatkowe własności. Ma to związek z problemem o czterech prostych, którego rozwiązanie zamieściłem na tym blogu jakiś czas temu. Pomyślałem więc, że może warto rozwinąć nieco ten temat i pokazać kilka prostych konstrukcji o zbliżonym charakterze. Oto one. 

Cztery proste

Problem o czterech prostych

Kiedyś Tadeusz przysłał mi taki problem: dane są trzy proste wychodzące z jednego punktu, skonstruuj czwartą prostą tak, aby po przecięciu się z trzema prostymi odcinały się na niej odcinki równej długości.

Problem ten, na pierwszy rzut oka, sprawia wrażenie bardzo trudnego zadania, do którego trzeba użyć konstrukcji typu neusis. Pokazane poniżej rozwiązanie jest jednak elementarne (bez neusis) i wymaga niewielkiej znajomości własności równoległoboków. Tylko tyle wystarczy aby rozwiązać ten problem.