Deltaeder – Geosphäre

Das größte konvexe Deltaeder hat 20 Dreiecke, es ist das Ikosaeder. Es existieren nur 8 konvexe Deltaeder, also man kann hier nicht vom Vielfalt reden.
Die Anzahl der nicht konvexen Deltaedern ist unbegrenzt und deren Vielfalt ist enorm groß, sogar dann, wenn man sich auf reguläre Formen beschränkt.
Ich habe bereits hunderte von solchen Deltaedern gezeichnet – mit tetraedrischen, oktaedrischen, ikosaedrischen und pyritoedrischen Symmetrie, auch als infinite Strukturen, dazu infinite Deltaeder mit einer vielfachen Drehachse, darunter Helices.

Da Deltaeder aus lauter Dreiecken gebaut sind liegt eine Relation zu geodätischen Sphären nah. Proizieren wir ein nicht konvexes Deltaeder auf eine Sphäre, erhalten wir eine geodätische Sphäre. In der Regeln sind alle Ecken in geodätischen Sphären sechsfach bis auf zwölf, die nur fünffach sind. Solche Geosphären weisen meistens die ikosaedrische Symmetrie auf. Es sind aber Geosphären mit dieser Eigenschaft mit der tetraedrischen und pyritoedrischen Symmetrie möglich, auch verdrehte (twisted).

Hier einige Beispiele:

Nicht konvexe Deltaeder mit der vollen tetraedrischen Symmetrie:

76 Dreiecke

Und die entsprechende Geosphäre

120 Dreiecke

Und die entsprechende Geosphäre

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Infinite Deltaeder

Stapeln wir n-seitige halbreguläre Antiprismen aufeinander, dann können wir einen unendlich hohen Turm bauen. Da die Mantelflächen der Antiprismen aus gleichseitigen Dreiecken bestehen, bilden sie ein infinites, nicht konvexes Deltaeder. Diese Bauweise ist natürlich trivial. Man kann sie aber komplizierter machen.

Wir machen es – als Beispiel – mit dem Turm aus dreiseitigen Antiprismen, also Oktaedern.  An Dreiecken können wir Johnson Körper J12 (triangulare Bipyramide) ankleben und so ein anderes infinites, nicht konvexes Deltaeder erstellen.

Das funktioniert mit Türmen aus n-seitigen Antiprismen nicht, wenn n>3 ist.
Um das zu erreichen müssen wir zuerst die triangularen Bipyramiden modifizieren und die n-seitigen Antiprismen leicht entlang der n-fachen Drehachse stauchen.

Nehmen wir die Kantenlänge der Antiprisma als 1.
Das J12 wird so modifiziert, dass eine einzige Kante und zwar die gemeinsame Kante von zwei Dreiecken, die als Klebeflächen fungieren,  länger wird. Bezeichnen wir die neue Länge als a dann gilt:

wobei  1 < a < 1,41421356.

Die neue Höhe der n-Antiprismen mit der Kantenlänge a nach dem Stauchen kann man mit folgender Formel berechnen:

Die modifizierten n-Antiprismen haben dann zwei Kantenlängen: die Kanten der Zickzacklinie haben die Länge 1 und die Kanten der n-Gone sind a lang.

Notabene, beide Formeln wurden von Eduard Baumann aus Fribourg in der Schweiz ermittelt.

Unten Beispiele für n = 3, 5, 10 und 18. Farben unterstreichen spiralförmige Anordnung der Dreiecksgruppen.

Nachtrag

Die erste Formel lässt sich so umwandeln:

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Rhombendodekaeder-Strukturen

Mit Rhombendodekaedern kann man den Raum lückenlos füllen. Neben dem Kubus und dem Oktaederstumpf ist das Rhombendodekaeder der bekannteste Raumfüller.

Man kann aus der Raumfüllung ein Teil der Rhombendodekaeder herausnehmen, so dass die Übrigen eine reguläre Struktur bilden, wobei zwei benachbarte Polyeder gemeinsame Seitenfläche haben (face to face). Auf Bildern sind die gemeinsamen Flächen grün dargestellt.
Entfernen wir entsprechend die Hälfte der Rhombendodekaeder entsteht die bekannte Diamantstruktur.

In dieser Struktur hat jedes Rhombendodekaeder sechs Nachbarn. Diese Struktur füllt 50% des Raumes. Man kann leicht bemerken, dass der leere Teil des Raumes die gleiche Form hat.

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Zwei Strukturen

Infinite, reguläre Strukturen sind sehr interessante Gebilde. Seit Jahren beschäftige ich mich mit diesen Formen, deren Anzahl unbegrenzt sei. Manchmal stieß man auf überraschende Fälle. So ist es im Falle der Struktur aus nicht regelmäßigen Fünf- und Neunecken.

Aus gleichen Elementen kann man eine andere, zweite Struktur bauen.

Das ist nicht das einzige Paar. Es gibt noch andere.

 

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Deltaeder

Es existieren 8 konvexe Deltaeder, drei davon sind regulär –  drei platonische Körper: Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder. Die übrige fünf sind die Johnson-Körper: J12, J13, J17, J51 und J84.

Die Anzahl von nicht konvexen Deltaeder ist unendlich groß. Sie sind jedoch interessant, besonders die, die regulär sind.

Regulär bedeutet hier das, dass diese Polyeder drei gleichwertige, zueinander senkrechte Rotationsachsen haben.

Fünf solche Deltaeder können wir einfach aus platonischen Körpern erzeugen. Auf jeden Körper setzen  wir Pyramiden, deren Mantelflächen gleichseitige Dreiecke sind.

Es ist bekannt, dass einige konvexe Polyeder nicht starr (rigide) sind. Sie werden als beweglich (flexibel, instabil, wackelig und ‚shaky‘) bezeichnet. Bekannt und interessant ist hier das Goldberg-Ikosaeder, das multistabil ist.

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Tetartoid

Das Tetartoid ist ein unauffälliges und wenig bekanntes Dodekaeder. Auf Wikipedia kann mehr darüber erfahren: hier.

Hier stelle ich zwei interessante Varianten des Tetartoids, die ich neulich gefunden habe. Eine ist mit der Goldenen Zahl  und die andere mit der Tribonacci-Konstante verknüpft.

Die Seitenflächen eines Tetartoids sind gleiche, nicht reguläre Pentagone. Mich interessierten die Fälle, wo zwei Seiten des Pentagons parallel sind.

Unten das erste Beispiel.

Es hat einige interessante Eigenschaften. Die Winkel zwischen kurzen Kanten betragen 90°. Der spitze Winkel im Pentagon ist genauso groß, wie ein spitzer Winkel im goldenen Rhombus, also 63,4349°.  In diesem Tetartoid kommen drei verschiedene Dihedralwinkel vor.  Alle sind ganzzahlig, und zwar 90°, 108° und 144°. In der Normalprojektion finden wir die Goldene Proportionen.

Wobei  φ = (√5 – 1)/2 = 0,61083.

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Prismen – Antiprismen

Auf jedem von vier gleichseitigen Dreiecken des Tetraeders können wir eine Prisma oder eine Antiprisma aufbauen und so erhalten wir zwei verschiedene vierarmige räumliche Kreuze.

Analog machen wir das mit dem Oktaeder und wir erhalten achtarmige Kreuze.

Aus diesen Formen können wir reguläre infinite Strukturen bauen.

Bemerkung: sich die komplementäre Strukturen vorzustellen – das ist bestimmt nicht einfach. Man muss sie zeichnen oder bauen.

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Heptaeder

Das fünfeckige Prisma und die sechseckige Pyramide – das sind bekannteste Siebenflächner (Heptaeder). Insgesamt sind 34 verschiedene konvexe Heptaeder bekannt.

Interessant ist ein Heptaeder, dessen Grundrisse und Axonometrie wir unten sehen.

Vier solche Polyeder bilden eine räumliche Konstruktion. Achten wir darauf,  dass die beide Sechsecke-Paare senkrecht zueinander stehen.

Das führt zu einer regulären Struktur.

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Twisted Polyhedra

Es gibt acht konvexe Deltaeder – Polyeder, die aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken gebaut sind. Nicht konvexen Deltaeder gibt es unendlich viele. Eine  interessante Gruppe bilden windschiefe Polyeder (engl. skew or twisted polyhedra), die von drei platonischen Körpern mit dreieckigen Seitenflächen abgeleitet sind. Erste Beispiele habe ich neulich gefunden.

Das einfachste twisted Tetraeder entsteht aus einem Ikosaeder. Auf vier Seitenflächen des Ikosaeders bauen wir Pyramiden aus gleichseitigen Dreiecken. Wir achten dabei, dass die dreifache Drehachsen weiter in der tetraedrischen Symmetrie bleiben. Die neue Figur hat keine Symmetrieebenen mehr. Das wurde bereit in einem früheren Beitrag (Ikosaeder) erwähnt.

Man kann leicht erkennen, dass dieses Polyeder verdreht ist (twisted oder snub polyhedron), also es hat die zweite chirale Form.
Zwei archimedische Körper sind verdreht: abgeschrägtes Hexaeder (cubus simus, engl. snub cube) und abgeschrägtes Dodekaeder (dodecaedron simum, engl. snub dodecahedron). Das abgeschrägte Tetraeder ist eben das Ikosaeder. Das ist in der Jitterbug-Transformation zu sehen.

Aus abgeschrägtem Hexaeder entsteht das einfachste twisted Oktaeder und aus aus abgeschrägtem Dodekaeder entsteht das einfachste twisted Ikosaeder. Man baut auf quadratischen bzw. pentagonalen Seitenflächen entsprechende Pyramiden.

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Rhombenkuboktaeder und Prismen

Oft lohnt es sich eine geometrische Figur genauer zu betrachten oder damit zu spielen. So ist es z. B. im Falle der Raumfüllung mit den großen Rhombenkuboktaeder (A6) und achteckigen  Prismen (Pr8).

Entfernen wir alle Prismen, dann bilden Rhombenkuboktaeder eine reguläre, infinite Struktur. Ihre Mittelpunkte bilden ein 3D-Netz, das ich n8 nenne.

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