Prismen – Antiprismen

Auf jedem von vier gleichseitigen Dreiecken des Tetraeders können wir eine Prisma oder eine Antiprisma aufbauen und so erhalten wir zwei verschiedene vierarmige räumliche Kreuze.

Analog machen wir das mit dem Oktaeder und wir erhalten achtarmige Kreuze.

Aus diesen Formen können wir reguläre infinite Strukturen bauen.

Bemerkung: sich die komplementäre Strukturen vorzustellen – das ist bestimmt nicht einfach. Man muss sie zeichnen oder bauen.

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Heptaeder

Das fünfeckige Prisma und die sechseckige Pyramide – das sind bekannteste Siebenflächner (Heptaeder). Insgesamt sind 34 verschiedene konvexe Heptaeder bekannt.

Interessant ist ein Heptaeder, dessen Grundrisse und Axonometrie wir unten sehen.

Vier solche Polyeder bilden eine räumliche Konstruktion. Achten wir darauf,  dass die beide Sechsecke-Paare senkrecht zueinander stehen.

Das führt zu einer regulären Struktur.

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Skew Polyhedra

Es gibt acht konvexe Deltaeder – Polyeder, die aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken gebaut sind. Nicht konvexen Deltaeder gibt es unendlich viele. Eine  interessante Gruppe bilden windschiefe Polyeder (engl. skew polyhedra), die von drei platonischen Körpern mit dreieckigen Seitenflächen abgeleitet sind. Erste Beispiele habe ich neulich gefunden.

Das einfachste skew Tetraeder entsteht aus einem Ikosaeder. Auf vier Seitenflächen des Ikosaeders bauen wir Pyramiden aus gleichseitigen Dreiecken. Wir achten dabei, dass die dreifache Drehachsen weiter in der tetraedrischen Symmetrie bleiben. Die neue Figur hat keine Symmetrieebenen mehr. Das wurde bereit in einem früheren Beitrag (Ikosaeder) erwähnt.

Man kann leicht erkennen, dass dieses Polyeder verdreht ist (twisted oder snub polyhedron), also es hat die zweite chirale Form.
Zwei archimedische Körper sind verdreht: abgeschrägtes Hexaeder (cubus simus, engl. snub cube) und abgeschrägtes Dodekaeder (dodecaedron simum, engl. snub dodecahedron). Das abgeschrägte Tetraeder ist eben das Ikosaeder. Das ist in der Jitterbug-Transformation zu sehen.

Aus abgeschrägtem Hexaeder entsteht das einfachste skew Oktaeder und aus aus abgeschrägtem Dodekaeder entsteht das einfachste skew Ikosaeder. Man baut auf quadratischen bzw. pentagonalen Seitenflächen entsprechende Pyramiden.

 

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Rhombenkuboktaeder und Prismen

Oft lohnt es sich eine geometrische Figur genauer zu betrachten oder damit zu spielen. So ist es z. B. im Falle der Raumfüllung mit den großen Rhombenkuboktaeder (A6) und achteckigen  Prismen (Pr8).

Entfernen wir alle Prismen, dann bilden Rhombenkuboktaeder eine reguläre, infinite Struktur. Ihre Mittelpunkte bilden ein 3D-Netz, das ich n8 nenne.

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Rhombendodekaeder-Strukturen

Rhombendodekaeder füllen den Raum lückenlos aus, das ist allgemein bekannt. Deren Mittelpunkte bilden ein reguläres 3D-Netz, das ich n12 nenne.

Die Rhombendodekaederstruktur, die ich im vorletzten Beitrag gezeigt habe füllt nur die Hälfte des Raumes aus. Das ist nicht die einzige reguläre Anordnung der Rhombendodekaedern die den Raum „halbiert“. Das bedeutet, dass die Struktur und die komplementäre Struktur kongruent sind. Unten noch ein Beispiel. Ich weiss es nicht, ob es weitere Beispiele gibt.

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Die Diamantstruktur

Vor etwa 50 Jahren habe ich im Buch  von D. Hilbert und S. Cohn-Vossen „ Anschauliche Geometrie“ zum ersten Mal etwas über die Diamantstruktur gelesen und ich war fasziniert.

Sie ist ein wichtiges Gebilde der 3D-Geometrie. In Kristallen, Kugelpackungen, infiniten Polyedern und in anderen geometrischen und räumlichen Objekten kommt sie  vor.

Sie ist sehr interessant. Im vorherigen Artikel haben wir ihre Zusammenhänge mit dem Rhombendodekaeder gezeigt. Hier wollen wir sie vor allem als ein 3D-Netz (Knotenpunkte und Bindungen) ansehen. In allen Knotenpunkten treffen sich vier Bindungen.

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Diamantstruktur und Rhombendodekaeder

In sechzigen Jahren habe ich mein erstes reguläres, infinites Polyeder aus Rhombendodekaedern gebaut.

Es ist nach dem Schema der Diamantstruktur gebaut. Diese infinite Form füllt die Hälfte des Raumes aus. Die zweite Hälfte ist kongruent. Das liegt darin, dass die 3D-Netz, als Diamantstruktur, dual mit sich selbst ist. Man sagt, das diese zwei 3D-Netze interpenetrieren sich.

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Das Rhombentriakontaeder und die toroidale Polyeder

Das Rhombentriakontaeder ist aus 30 goldenen Rhomben gebaut. Man kann es in einen Kubus eischreiben. Sechs Rhomben liegen dann in den Ebenen, die den Kubus bilden.

Es existiert auch konkave Form des Rhombentriakontaeders. 24 Rhomben  der konvexen Form werden sozusagen „eingedrückt“.

Beide Polyeder zusammen füllen den Raum regulär aus.

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Der Kubus

Der Kubus (der Würfel) ist der einfachste und bekannteste Raumfüller.

Er kann den Raum auch teilweise regulär ausfüllen. Unten ein interessantes Beispiel, wo die Kuben „face to face“ verbunden sind.

In diesem Ausschnitt der Packung sehen wir, dass acht Würfel „einen Balken“ bilden. Deutlich wird das auf diesem Bild zu sehen:

Frage: wievielter Teil des Raumes ist ausgefüllt?

Die Mittelpunkte der Kuben bilden ein reguläres, homogenes 3D-Netz. Es ist ein Unternetz des kubischen Netzes.

Wie sieht die Diereichlet-Voronoi-Zelle dieses Netztes aus?

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Ikosaeder

Von fünf platonischen Polyeder nur das Ikosaeder kann durch die Verdrehung eines anderen Polyeders entstehen. Das zeigte bereits vor Jahren   Buckminster Fuller  in der Jitterbug-Transformation.

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Die Dreiecke eines Oktaeders werden verdreht. In der Zwischenphase entsteht ein Ikosaeder und in der Endphase – ein Kuboktaeder.

Ein Ikosaeder kann auch beim gleichzeitigen Verdrehen und Ausdehnen eines Tetraeders entstehen.

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Die Verdrehung im Ikosaeder wird sichtbar, wenn man auf vier Seitenflächen Pyramiden (Tetraeder) baut, aber so, dass die Spitzen ein Tetraeder Bilden.

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