Ciekawa rodzina brył wypełniających przestrzeń

Znanym sposobem tworzenia płytek wypełniających płaszczyznę jest przekształcanie kwadratu. Przy dwóch bokach wycinamy część kwadratu i przyklejamy je na zewnątrz do pozostałych boków. Pokazuje to rysunek:

Kwadrat-mod

Tak utworzoną płytką możemy wypełnić płaszczyznę na dwa sposoby:

Parkiet-1 Parkiet-2

 

Wyjściowy kwadrat można wyciąć przy innej parze boków:

Kwadrat-mod2

Jakie parkietaże można zbudować z takich płytek?

Oczywiście, może to czynić na nieskończenie wiele sposobów.

Podobnie możemy postąpić w przestrzeni trójwymiarowej z sześcianem.
W przykładzie poniżej wycięto i przyklejono czworokątne ostrosłupy:

cube-mod

Oczywiście, tą bryłą możemy wypełnić przestrzeń i to regularnie.

HC_cube-mode

Zauwaśmy, że ten układ 8 zmodyfikowanych sześcianów jest „wypełniaczem“ przestrzeni. Jest ograniczony przez 96 trójkątów, ale ponieważ niektóre pary sąsiednich trójkątów leżą na tej samej płaszczyźnie tworząc romby, to faktycznie jest to 72-ścian wklęsło-wypukły.

72-scian

Zamiast ostrosłupów możemy użyć innych form np. powierzchni cylindracznych i otrzymamy bryłę wypełniającą regularnie  przestrzeń:

3cyl-core_mod

Ale takie formy można uzyskać też inaczej. Guy Inchbald pokazał na swojej stronie internetowej dwunastścian rombowy w którym dwa przeciwległe wierzchołki czterokrotne zostały „wciśnięte“ do środka. Czyniąc tak z trzema sąsiednimi wierzchołkami czterokrotnymi otrzymamy taką bryłę:

R1-mod

Jest to połowa dwunastościanu rombowego. Ciekawy jest fakt, że tą bryłą możemy wypełnić regularnie  przestrzeń na dwa sposoby.

Gdy postąpimy podobnie z dwunastościanem foremnym to otrzymamy taką bryłę:

P4-mod

Zaskakujące, ale to jest wielościan, którym możemy wypełnić regularnie  przestrzeń!

Również inne bryły można podobnie przekształcać. Poniżej dwa przykłady zmodyfikowanego czternastościanu półferemnego (ośmiościan ścięty):

A4-mod2

A4-mod

O wypełnianiu przestrzeni także tu:   http://www.3doro.de/space-filling/ (po niemiecku).

Veröffentlicht in 2D, 3D