Weaire-Phelan-Struktur

In letztem Blogeintrag habe ich erwähnt, dass die Dodekaeder-Struktur etwas mit der Weaire-Phelan-Struktur zu tun hat.

In der Weaire-Phelan-Struktur kommen zwei Polyeder vor:   ein Dodekaeder (nicht regelmäßig!) und ein 14-Flächner.

dode_wp

14-fl_w-p

Das Dodekaeder entsteht durch eine kleine Modifikation des platonischen Dodekaeders. Wird es in einen Kubus mit der Kantenlänge von 12 Einhaeiten eingeschrieben, werden sechs Kanten, die in Seitenflächen des Würfels liegen, so verlängert, dass die 6 Einheiten lang sind.

dodeca_w-p

Die Eckpunkten von dieser Kanten haben die Koordinaten in dieser Form: (±6,±3,0), und die Koordinaten der übrigen acht Ecken, die auf der Diagonalen des Würfels liegen, haben die Form: (±4,±4,±4). Die Länge der 24 Kanten, die sich im Kubus befinden beträgt √21 = 4,58258.

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Fünf Ikosaeder-Oktaeder-Strukturen

Das Ikosaeder kann man in einen Kubus einschreiben. Die Diagonalen des Würfels gehen durch die Mittelpunkte von acht Dreiecken des Ikosaeders (rot und blau auf dem Bild unten). An diesen Dreiecken kann man vier, sechs oder acht Oktaeder platzieren.
ico-in-cube
Auf dieser Weise kann man fünf reguläre infinite Strukturen bauen. 3D-Netze dienen als Bauschema für diese Strukturen. Die Oktaeder fungieren hier eigentlich als Antiprismen.

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Dodekaeder-Struktur

Aus Dodekaedern kann man eine reguläre infinite Struktur bauen (s. unten einen Ausschnitt). Jedes Dodekaeder berührt ausschließlich mit Ecken acht Nachbarn (vertex to vertex). Es ist ein doroidales Polyeder

 doroid_13xp4

doroid_13xp4

Die Dodekaeder füllen nur ein Teil des Raumes aus. Der übrige Teil lässt sich mit einem konvexen Polyeder ausfüllen.

Frage:  wie sieht dieses Polyeder aus?

Diese Raumfüllung hat viel gemeinsam mit der bekannten Weaire-Phelan-Struktur.

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