Die Diamantstruktur

Vor etwa 50 Jahren habe ich im Buch  von D. Hilbert und S. Cohn-Vossen „ Anschauliche Geometrie“ zum ersten Mal etwas über die Diamantstruktur gelesen und ich war fasziniert.

Sie ist ein wichtiges Gebilde der 3D-Geometrie. In Kristallen, Kugelpackungen, infiniten Polyedern und in anderen geometrischen und räumlichen Objekten kommt sie  vor.

Sie ist sehr interessant. Im vorherigen Artikel haben wir ihre Zusammenhänge mit dem Rhombendodekaeder gezeigt. Hier wollen wir sie vor allem als ein 3D-Netz (Knotenpunkte und Bindungen) ansehen. In allen Knotenpunkten treffen sich vier Bindungen.

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Diamantstruktur und Rhombendodekaeder

In sechzigen Jahren habe ich mein erstes reguläres, infinites Polyeder aus Rhombendodekaedern gebaut.

Es ist nach dem Schema der Diamantstruktur gebaut. Diese infinite Form füllt die Hälfte des Raumes aus. Die zweite Hälfte ist kongruent. Das liegt darin, dass die 3D-Netz, als Diamantstruktur, dual mit sich selbst ist. Man sagt, das diese zwei 3D-Netze interpenetrieren sich.

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Das Rhombentriakontaeder und die toroidale Polyeder

Das Rhombentriakontaeder ist aus 30 goldenen Rhomben gebaut. Man kann es in einen Kubus eischreiben. Sechs Rhomben liegen dann in den Ebenen, die den Kubus bilden.

Es existiert auch konkave Form des Rhombentriakontaeders. 24 Rhomben  der konvexen Form werden sozusagen „eingedrückt“.

Beide Polyeder zusammen füllen den Raum regulär aus.

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Der Kubus

Der Kubus (der Würfel) ist der einfachste und bekannteste Raumfüller.

Er kann den Raum auch teilweise regulär ausfüllen. Unten ein interessantes Beispiel, wo die Kuben „face to face“ verbunden sind.

In diesem Ausschnitt der Packung sehen wir, dass acht Würfel „einen Balken“ bilden. Deutlich wird das auf diesem Bild zu sehen:

Frage: wievielter Teil des Raumes ist ausgefüllt?

Die Mittelpunkte der Kuben bilden ein reguläres, homogenes 3D-Netz. Es ist ein Unternetz des kubischen Netzes.

Wie sieht die Diereichlet-Voronoi-Zelle dieses Netztes aus?

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Ikosaeder

Von fünf platonischen Polyeder nur das Ikosaeder kann durch die Verdrehung eines anderen Polyeders entstehen. Das zeigte bereits vor Jahren   Buckminster Fuller  in der Jitterbug-Transformation.

a3-p5-p3_jittrbug

Die Dreiecke eines Oktaeders werden verdreht. In der Zwischenphase entsteht ein Ikosaeder und in der Endphase – ein Kuboktaeder.

Ein Ikosaeder kann auch beim gleichzeitigen Verdrehen und Ausdehnen eines Tetraeders entstehen.

p1-p5-p1_ani

Die Verdrehung im Ikosaeder wird sichtbar, wenn man auf vier dreieckigen Seitenflächen symmetrisch Pyramiden (Tetraeder) baut.

p5-4xp1

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Infinite Polyeder

Drei unendliche regelmäßige Polyeder (engl. regular skew polyhedra oder skew apeirohedra) wurden im Jahre 1926 von John Flinders Petrie und Harold Scott MacDonald Coxeter entdeckt. Die blieben lange unbeachtet. Erst in den späten sechziger Jahren hat Alexander Frank Wells einige infinite reguläre Polyeder beschrieben.

Das einfache Polyeder vom Petrie ist aus unendlich vielen Quadraten gebaut. Das primitive kubische Gitter fungiert als das Bauschema.

s6_petrie

s6-petrie

Die Quadrate teilen den Raum in zweil gleiche Teile, also der „Innenraum“ ist kongruent mit dem „Außenraum“. Auch zwei andere Polyeder vom Petrie halbieren den Raum.

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Kubus-Rhombendodekaeder

Ein Kubus kann man leicht in ein Rhombendodekaeder umwandeln. Am einfachsten so, wenn man auf jede Seitenfläche eine Quadratische Pyramide aufsetzt.

p2-r1

Man kann das auch etwas komplizierter tun. Hier zeigen wir eine nicht so einfache Umwandlung.
Zuerst teilen wir jedes Quadrat des Würfels in 16 gleiche Quadrate. Insgesamt sind es 96 Quadrate.

1a_96-faces_endfall-cube

Die kleine Qudrate werden ein wenig modifieziert – jedoch so, dass deren Kanten sich nicht ändern. Diese Quadrate wandeln sich in Rhomben um. Zusätzlich erscheinen zwischen denen neue, schmale Rhomben (hellrot und dunkelblau). Jetzt hat unsere Figur 132 Rhomben als Seitenflächen. Die Rhomben haben fünf verschiedene Größen.

2_132f_fast-cube

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Weaire-Phelan-Struktur

In letztem Blogeintrag habe ich erwähnt, dass die Dodekaeder-Struktur etwas mit der Weaire-Phelan-Struktur zu tun hat.

In der Weaire-Phelan-Struktur kommen zwei Polyeder vor:   ein Dodekaeder (nicht regelmäßig!) und ein 14-Flächner.

dode_wp

14-fl_w-p

Das Dodekaeder entsteht durch eine kleine Modifikation des platonischen Dodekaeders. Wird es in einen Kubus mit der Kantenlänge von 12 Einhaeiten eingeschrieben, werden sechs Kanten, die in Seitenflächen des Würfels liegen, so verlängert, dass die 6 Einheiten lang sind.

dodeca_w-p

Die Eckpunkten von dieser Kanten haben die Koordinaten in dieser Form: (±6,±3,0), und die Koordinaten der übrigen acht Ecken, die auf der Diagonalen des Würfels liegen, haben die Form: (±4,±4,±4). Die Länge der 24 Kanten, die sich im Kubus befinden beträgt √21 = 4,58258.

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Fünf Ikosaeder-Oktaeder-Strukturen

Das Ikosaeder kann man in einen Kubus einschreiben. Die Diagonalen des Würfels gehen durch die Mittelpunkte von acht Dreiecken des Ikosaeders (rot und blau auf dem Bild unten). An diesen Dreiecken kann man vier, sechs oder acht Oktaeder platzieren.
ico-in-cube
Auf dieser Weise kann man fünf reguläre infinite Strukturen bauen. 3D-Netze dienen als Bauschema für diese Strukturen. Die Oktaeder fungieren hier eigentlich als Antiprismen.

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Dodekaeder-Struktur

Aus Dodekaedern kann man eine reguläre infinite Struktur bauen (s. unten einen Ausschnitt). Jedes Dodekaeder berührt ausschließlich mit Ecken acht Nachbarn (vertex to vertex). Es ist ein doroidales Polyeder

 doroid_13xp4

doroid_13xp4

Die Dodekaeder füllen nur ein Teil des Raumes aus. Der übrige Teil lässt sich mit einem konvexen Polyeder ausfüllen.

Frage:  wie sieht dieses Polyeder aus?

Diese Raumfüllung hat viel gemeinsam mit der bekannten Weaire-Phelan-Struktur.

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