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Rhombic propello octahedron

Ein Polyeder mit interessanten Eigenschaften ist ein 32-Flächner – 24 Rhomben und 8 gleichseitige Dreiecke. Der spitze Winkel in Rhomben beträgt 80,4059°.

Es wurde von Jim McNeill erwähnt: hier. Er nennt es ‚rhombic propello octahedron‘.
Es hat nicht volle oktaedrische Symmetrie – ohne Reflexionsebenen, also hat zwei chirale Formen.

Bemerkenswert ist das, dass man die Koordinate der 30 Ecken als Integer darstellen kann. Das zeigt seine Normalprojektion:

Man kann also relativ einfach seine Parameter berechnen.

Eine besondere Eigenschaft dieses Polyeders ist das, dass die gegenüberliegende (antipodale) Dreiecke gleiche Lage im Raum haben, was sehr selten in solchen Formen vorkommt. Man kann also vier Dreieckige Prismen da einschreiben, die ein 3D-Kreuz bilden.

Wenn die Kantenlänge des Dreiecks 1 ist, dann ist die Prismenhöhe 2*√2.
Der gemeinsame Teil (der Kern) der vier Prismen ist ein Rhombendodekaeder (wie kann man das begründen?).
Solche Prismen können infinite Strukturen bilden:

Auch 32-Flächner bilden reguläre infinite Strukturen, wobei die Dreiecke als Klebeflächen fungieren. Diese Struktur füllt ca. 72% des Raumes aus.

Die komplementäre Struktur ist interessant. Unten ein kleiner Ausschnitt.

Diese beide infinite Strukturen zusammen füllen also den Raum lückenlos aus.
Die zweite Struktur kann man aus gleichen konvexen Polyedern zusammenbauen. Es ist ein Achtflächner, ähnlich wie Johnson-Polyeder J26, aber statt Quadrate sind es Rhomben.

Vier diese Polyeder bilden so eine Form:

Fazit: der Acht- und der 32-Flächner – beide zusammen – füllen den Raum regulär aus.

Weitere Strukturen möglich sind, z. B. diese:

oder diese:

Auf Wunsch kann ich die STEL-Dateien zur Verfügung stellen.

 

Tadeusz E. Dorozinski
Düsseldorf, im Januar 2020

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