Startseite » 2D » Linie, punkty i kąty

Linie, punkty i kąty

Ciekawe konstrukcje geometryczne z liniami, punktami i kątami

g4574Od jakiegoś czasu dostaję pytania jak skonstruować punkt lub odcinek przecinający dwie inne linie i posiadający pewne dodatkowe własności. Ma to związek z problemem o czterech prostych, którego rozwiązanie zamieściłem na tym blogu jakiś czas temu. Pomyślałem więc, że może warto rozwinąć nieco ten temat i pokazać kilka prostych konstrukcji o zbliżonym charakterze. Oto one. 

1. Dwa punkty, prosta i równe odległości

Dana jest prosta k i dwa punkty A, B nie leżące na niej.  Znaleźć na prostej k punkt równoodległy od punktów A i B.

Rozwiązanie

two_points_and_a_line

Dwa punkty, prosta i równe odcinki

  1. Narysuj dwa okręgi o środkach odpowiednio w punktach A i B, oraz promieniu równym długości odcinka AB. Punkty przeciecia tych okręgów zaznaczyłem jako C i D.
  2. Poprowadź prostą CD. Punkt przecięcia tej prostej z prostą k oznaczyłem jako E (duża czerwona kropa). Teraz łatwo można pokazać, że AE BE.

2. Dwa punkty, prosta i równe kąty

Dana jest prosta k oraz dwa punkty A i B. Znajdź na prostej k punkt C taki, że kąty pomiędzy prostą k i każdym z odcinków AC oraz BC jest taki sam.

Rozwiązanie

two_points_and_a_line_2

Dwa punkty, prosta i równe kąty

  1. Dane są prosta k oraz dwa punkty A i B nie leżące na tej prostej.
  2. Z jednego z tych punktów poprowadź prostą prostopadłą do prostej k. Tu jest to punkt A. Zaznacz punkt przecięcia tej prostopadłej z prostą k jako F.
  3. Narysuj okrąg o środku w punkcie F i promieniu FA. Zaznacz drugi punkt przecięcia tego okręgu z prostą prostopadłą. Tu jest to punkt G.
  4. Poprowadź prostą GB i punkt przecięcia tej prostej z prostą k oznacz jako C.
  5. Łatwo można pokazać, że kąty jakie tworzą proste AC i BC z prostą k są równe.

3. Dwie proste i punkt

Dane są dwie przecinające się proste k i l oraz punkt M nie leżący na nich. Poprowadź prostą przechodzącą przez punkt M tak, aby odcinek tej prostej zawarty pomiędzy prostymi k i l dzielił się na połowę w punkcie M.

Zauważmy, że jest to problem 26 z pierwszej księgi Elementów Euklidesa.

Rozwiązanie

two_lines_and_a_point

Dwie linie i punkt

  1. Dane są dwie przecinające się proste k i l, oraz punkt M leżący pomiędzy nimi i nie leżący na żadnej z tych prostych.
  2. Z punktu M poprowadź prostą prostopadłą do jednej z danych prostych. Tu jest to prosta MB prostopadła do k.
  3. Narysuj okrąg o środku w punkcie M i promieniu MB. Zaznacz drugi punkt przecięcia tego okręgu z prostą prostopadłą MB jako B‘. W punkcie B‘ poprowadź prostą równoległą do prostej k. Punkt przecięcia tej prostej z prostą l oznacz jako C.
  4. Narysuj prostą CM a jej punkt przecięcia z prostą k oznacz jako D.
  5. Można udowodnić, że odcinki CM i MD mają równe długości.

4. Dwie proste, punkt i równe kąty

Ten problem jest podobny do poprzedniego, z tym, że tym razem chcemy aby kąty pomiędzy nową linią a dwoma danymi liniami były równe.  Oto dokładne sformułowanie problemu.

Dane są dwie linie przecinające się w punkcie A oraz punkt M leżący pomiędzy nimi. Poprowadź prostą przechodzącą przez punkt M tak, aby kąty pomiędzy tą linią i każdą z danych prostych były równe.

Rozwiązanie

two_lines_and_a_point_2

Dwie linie, punkt i równe kąty

  1. Sytuacja jest podobna do tej z poprzedniego problemu. Mamy dane proste k i l przecinające się w punkcie A oraz punkt M nie leżący na żadnej z tych prostych.
  2. Rysujemy kąt dopełniający pomiędzy prostymi k i l i dzielimy go na połowę prostą p.
  3. Konstruujemy prostą p‘ przechodzącą przez punkt M i równoległą do prostej p. Prosta p‘ ma tę własność, że przecina się z prostymi k i l pod takimi samymi kątami.

Opisane tu konstrukcje są stosunkowo proste i nadają się na lekcje geometrii w liceum. Wiele innych podobnych konstrukcji znajdziecie w mojej nowej książce Szkice o geometrii i sztuce: sztuka konstrukcji geometrycznych.

Advertisements

Kommentar verfassen

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden / Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden / Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden / Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden / Ändern )

Verbinde mit %s