Besondere Polar-Zonoeder

Es gibt unendlich viele Polyeder mit oktaedrischer Symmetrie, deren alle Ecken auf kartesischen Gitterpunkten liegen. Besondere sind solche, deren Kantenlängen auch ganzzahlig (Integer) sind. Auch weniger symmetrische Polyeder mit diesen Eigenschaften sind interessant.

Hier zeigen wir, wie man solche Polar-Zonoeder generieren kann.

Fangen wir mit einem Rhombendodekaeder, dessen sechs Ecken Koordinaten im Format (±4, 0, 0) haben und acht Ecken Koordinaten im Format (±2, ±2, ±2). Die Kantenlänge beträgt 2√3, also etwa 3,34641. Jetzt stauchen wir dieses Polyeder in der Richtung der z-Achse mit dem Faktor 0,5. Koordinaten von vier Ecken in der xy-Ebene ändern sich nicht, aber zwei Ecken auf der z-Achse haben jetzt Koordinaten im Format (0, 0,±2) und andere 8 Ecken Koordinaten im Format (±2, ±2, ±1).
Die Kantenlänge beträgt jetzt 3.

Wir haben das kleinste Polar-Zonoeder erhalten, dessen Eckkoordinaten und die Kantenlänge ganzzahlig sind. Woran das liegt? – an vier Zahlen: 1, 2, 2 und 3. Es ist das kleinste primitive pythagoreische-Quadrupel, also: 1² + 2² + 2² = 3².

Mit anderen Quadrupel kann man weitere solche Polar-Zonoeder bauen.

Hier einige Beispiele.

Mit dem Quadrupel (2, 3, 6, 7) kann man ein Polar-Zonoeder aus 56 Rhomben bauen.

Mit zwei Quadrupel (2, 5, 14, 15) und (5, 10, 10, 15) kann man ein Polar-Zonoeder aus 132 Rhomben bauen.

Mit zwei Quadrupel (1, 4, 8, 9) und (4, 4, 7, 9) kann man ein Polar-Zonoeder aus 240 Rhomben bauen.

Mit drei Quadrupel (1, 6, 18, 19), (6, 6,17, 19) und (6, 10, 15, 19) kann man ein Polar-Zonoeder aus 552 Rhomben bauen.

Alle hier gezeigte Beispiele haben eine vierfache Polarachse und vier zweifachen Rotationsachsen. Möglich sind Polar-Zonoeder mit einer zweifachen Polarachse. Man muss beim Konstruieren ein Vektorpaar auf der Basis des Quadrupels nur zweimal um die Polarachse drehen statt viermal.
Unten ein Beispiel mit einem Polar-Zonoeder, dessen Kantenlänge 9 beträgt.