Deltaeder – Geosphäre

Das größte konvexe Deltaeder hat 20 Dreiecke, es ist das Ikosaeder. Es existieren nur 8 konvexe Deltaeder, also man kann hier nicht vom Vielfalt reden.
Die Anzahl der nicht konvexen Deltaedern ist unbegrenzt und deren Vielfalt ist enorm groß, sogar dann, wenn man sich auf reguläre Formen beschränkt.
Ich habe bereits hunderte von solchen Deltaedern gezeichnet – mit tetraedrischen, oktaedrischen, ikosaedrischen und pyritoedrischen Symmetrie, auch als infinite Strukturen, dazu infinite Deltaeder mit einer vielfachen Drehachse, darunter Helices.

Da Deltaeder aus lauter Dreiecken gebaut sind liegt eine Relation zu geodätischen Sphären nah. Proizieren wir ein nicht konvexes Deltaeder auf eine Sphäre, erhalten wir eine geodätische Sphäre. In der Regeln sind alle Ecken in geodätischen Sphären sechsfach bis auf zwölf, die nur fünffach sind. Solche Geosphären weisen meistens die ikosaedrische Symmetrie auf. Es sind aber Geosphären mit dieser Eigenschaft mit der tetraedrischen und pyritoedrischen Symmetrie möglich, auch verdrehte (twisted).

Hier einige Beispiele:

Nicht konvexe Deltaeder mit der vollen tetraedrischen Symmetrie:

76 Dreiecke

Und die entsprechende Geosphäre

120 Dreiecke

Und die entsprechende Geosphäre

Nicht konvexe Deltaeder mit der tetraedrischen Symmetrie ohne Symmetrieebenen (verdrehte):

68 Dreiecke

Und die entsprechende Geosphäre

136 Dreiecke

Und die entsprechende Geosphäre

156 Dreiecke

Und die entsprechende Geosphäre

Nicht konvexe Deltaeder mit der pyritoedrischen Symmetrie:

116 Dreiecke

Und die entsprechende Geosphäre

276 Dreiecke

Und die entsprechende Geosphäre

Die duale Formen von solchen Geosphären sind sehr interessant:

Die entsprechende STEL-Files kann ich zur Verfügung stellen.

Nachtrag

Kleine Animationen, die zeigt, wie ein twisted Deltaeder in eine Geosphäre umgewandelt wird:

Tadeusz E. Dorozinski
Düsseldorf, im Oktober 2019