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Infinite Deltaeder

Stapeln wir n-seitige halbreguläre Antiprismen aufeinander, dann können wir einen unendlich hohen Turm bauen. Da die Mantelflächen der Antiprismen aus gleichseitigen Dreiecken bestehen, bilden sie ein infinites, nicht konvexes Deltaeder. Diese Bauweise ist natürlich trivial. Man kann sie aber komplizierter machen.

Wir machen es – als Beispiel – mit dem Turm aus dreiseitigen Antiprismen, also Oktaedern.  An Dreiecken können wir Johnson Körper J12 (triangulare Bipyramide) ankleben und so ein anderes infinites, nicht konvexes Deltaeder erstellen.

Das funktioniert mit Türmen aus n-seitigen Antiprismen nicht, wenn n>3 ist.
Um das zu erreichen müssen wir zuerst die triangularen Bipyramiden modifizieren und die n-seitigen Antiprismen leicht entlang der n-fachen Drehachse stauchen.

Nehmen wir die Kantenlänge der Antiprisma als 1.
Das J12 wird so modifiziert, dass eine einzige Kante und zwar die gemeinsame Kante von zwei Dreiecken, die als Klebeflächen fungieren,  länger wird. Bezeichnen wir die neue Länge als a dann gilt:

wobei  1 < a < 1,41421356.

Die neue Höhe der n-Antiprismen mit der Kantenlänge a nach dem Stauchen kann man mit folgender Formel berechnen:

Die modifizierten n-Antiprismen haben dann zwei Kantenlängen: die Kanten der Zickzacklinie haben die Länge 1 und die Kanten der n-Gone sind a lang.

Notabene, beide Formeln wurden von Eduard Baumann aus Fribourg in der Schweiz ermittelt.

Unten Beispiele für n = 3, 5, 10 und 18. Farben unterstreichen spiralförmige Anordnung der Dreiecksgruppen.

Nachtrag

Die erste Formel lässt sich so umwandeln:

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