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Skew Polyhedra

Es gibt acht konvexe Deltaeder – Polyeder, die aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken gebaut sind. Nicht konvexen Deltaeder gibt es unendlich viele. Eine  interessante Gruppe bilden windschiefe Polyeder (engl. skew polyhedra), die von drei platonischen Körpern mit dreieckigen Seitenflächen abgeleitet sind. Erste Beispiele habe ich neulich gefunden.

Das einfachste skew Tetraeder entsteht aus einem Ikosaeder. Auf vier Seitenflächen des Ikosaeders bauen wir Pyramiden aus gleichseitigen Dreiecken. Wir achten dabei, dass die dreifache Drehachsen weiter in der tetraedrischen Symmetrie bleiben. Die neue Figur hat keine Symmetrieebenen mehr. Das wurde bereit in einem früheren Beitrag (Ikosaeder) erwähnt.

Man kann leicht erkennen, dass dieses Polyeder verdreht ist (twisted oder snub polyhedron), also es hat die zweite chirale Form.
Zwei archimedische Körper sind verdreht: abgeschrägtes Hexaeder (cubus simus, engl. snub cube) und abgeschrägtes Dodekaeder (dodecaedron simum, engl. snub dodecahedron). Das abgeschrägte Tetraeder ist eben das Ikosaeder. Das ist in der Jitterbug-Transformation zu sehen.

Aus abgeschrägtem Hexaeder entsteht das einfachste skew Oktaeder und aus aus abgeschrägtem Dodekaeder entsteht das einfachste skew Ikosaeder. Man baut auf quadratischen bzw. pentagonalen Seitenflächen entsprechende Pyramiden.

 

Betrachtet man skew Polyhedra genauer, sieht man, dass sie ähnlich aufgebaut sind wie Geosphären der Klasse III. Dreiecke bilden Segmente, die von Parameter m und n abhänging sind. Siehe dazu:

https://en.wikipedia.org/wiki/Geodesic_polyhedron
www.3doro.de/kuppel.htm

Einige Beispiele:

 

Der Fall, wo m = n,  ist weniger interessant, da einige Dreiwcke koplanar sind.

Mir ist die allgemeine Methode, wie man skew Polyeder konstruiert, nicht bekannt. Vielleich findet sie jemand?

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