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Das Rhombentriakontaeder und die toroidale Polyeder

Das Rhombentriakontaeder ist aus 30 goldenen Rhomben gebaut. Man kann es in einen Kubus eischreiben. Sechs Rhomben liegen dann in den Ebenen, die den Kubus bilden.

Es existiert auch konkave Form des Rhombentriakontaeders. 24 Rhomben  der konvexen Form werden sozusagen „eingedrückt“.

Beide Polyeder zusammen füllen den Raum regulär aus.

Es gibt eine Zwischenform der beiden Rhombentriakontaedern , die den Raum ausfüllt. Es ist ein nichtkonvexer Raumfüller mit 54 Seitenflächen: 6 Rhomben und 48 Dreiecke.

Die Raumfüllung mit diesem 54-Flächner sieht so aus:

Diese Polyeder spielt eine Rolle beim Bilden toroidalen Polyedern mit dem platonischen Dodekaeder und seinen Abkömmlingen. Benachbarte Dodekaeder verbindet ein pentagonales Antiprisma, Ein Beispiel sehen wir unten:

Die Mittelpunkte von 24 Dodekaedern bestimmen Ecken von sechs Rhomben eines 54-Flächners. Es ist also möglich, dass dieses Toroid ins Unendliche – wie in der Raumfüllung – ausgebaut wird. Die Animation unten zeigt ein Ausschnitt von diesem infiniten Toroid.

Beide Bilder unten zeigen zwei verschiedene Ansichten von diesem Gebilde.

 

Große Rhombenikosidodekaeder zusammen mit  dekagonalen Prismen bilden so ein Toroid:

Nahliegend ist eine Kugelpackung nach diesem Schema. Um eine steife Kugelpackung zu erreichen wurden die goldene Rhomben durch zwei gleichseitige Dreiecke ersetzt.  Vide:  www.3doro.de/e-kp.htm

Bemerkung

Man kann vier dreifache Ecken des Rhombendodekaeders reindrücken und wir erhalten einer konkaven Raumfüller mit 24 Dreiecken als Seitenflächen.

Dieser 24-Flächner füllt „eine Zelle“ ind der Diamant-Struktur.

Durch das Teilen erhält man zwei konvexe Polyeder, ein mit acht und ein mit fünf Seitenflechen. Beide sind Raumfüller!

 

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