Kubus-Rhombendodekaeder

Ein Kubus kann man leicht in ein Rhombendodekaeder umwandeln. Am einfachsten so, wenn man auf jede Seitenfläche eine Quadratische Pyramide aufsetzt.

Man kann es auch etwas komplizierter machen, z. B. wenn wir ein Zonoeder mit 132 Seitenflächen anwenden.

Im Jahre 1994 haben  Y. Watanabe, T. Betsumiya zwei Typen (T und C) vom Zonoeder mit 132 Rhomben, auf Englisch  rhombic hectotriadiohedron genannt.

Das Rhombenhektotriadioeder vom Typ T kann man vom Kubus zum Rhombendodekaeder  transformieren. Das zeigt die Animation unten.

 

Weaire-Phelan-Struktur

In letztem Blogeintrag habe ich erwähnt, dass die Dodekaeder-Struktur etwas mit der Weaire-Phelan-Struktur zu tun hat.

In der Weaire-Phelan-Struktur kommen zwei Polyeder vor:   ein Dodekaeder (nicht regelmäßig!) und ein 14-Flächner.

Das Dodekaeder entsteht durch eine kleine Modifikation des platonischen Dodekaeders. Wird es in einen Kubus mit der Kantenlänge von 12 Einhaeiten eingeschrieben, werden sechs Kanten, die in Seitenflächen des Würfels liegen, so verlängert, dass die 6 Einheiten lang sind.

Die Eckpunkten von dieser Kanten haben die Koordinaten in dieser Form: (±6,±3,0), und die Koordinaten der übrigen acht Ecken, die auf der Diagonalen des Würfels liegen, haben die Form: (±4,±4,±4). Die Länge der 24 Kanten, die sich im Kubus befinden beträgt √21 = 4,58258.

Fünf Ikosaeder-Oktaeder-Strukturen

Das Ikosaeder kann man in einen Kubus einschreiben. Die Diagonalen des Würfels gehen durch die Mittelpunkte von acht Dreiecken des Ikosaeders (rot und blau auf dem Bild unten). An diesen Dreiecken kann man vier, sechs oder acht Oktaeder platzieren.

Auf dieser Weise kann man fünf reguläre infinite Strukturen bauen. 3D-Netze dienen als Bauschema für diese Strukturen. Die Oktaeder fungieren hier eigentlich als Antiprismen.

Dodekaeder-Struktur

Aus Dodekaedern kann man eine reguläre infinite Struktur bauen (s. unten einen Ausschnitt). Jedes Dodekaeder berührt ausschließlich mit Ecken acht Nachbarn (vertex to vertex). Es ist ein doroidales Polyeder. 

 

Die Dodekaeder füllen nur ein Teil des Raumes aus. Der übrige Teil lässt sich mit einem konvexen Polyeder ausfüllen.

Frage:  wie sieht dieses Polyeder aus?

Diese Raumfüllung hat viel gemeinsam mit der bekannten Weaire-Phelan-Struktur.

Rhombenkuboktaeder-Modifikation

In einem großen Rhombenkuboktaeder entfernen wir alle Achtecke.

Jetzt ersetzen wir die gelben Quadrate durch  reguläre Sechsecke.

Modifikation des Triakistetraeders

Dual zum Tetraederstumpf ist das Triakistetraeder. Es ist also der kleinste catalanische Körper (C1). Interessant ist seine erste modifizierte Form, die entsteht durch das Abschneiden (engl. truncation) der vier sechszähligen Ecken. Durch die leichte Modifikation kann man erreichen, dass alle Kanten gleichlang sind (siehe unten). Es hat 16 Facetten.

Tennisball-Geometrie

Geometrisch betrachtet ist ein Tennisball eine Kugel, deren Oberfläche aus zwei gleichen Teilen zsammengesetzt ist. Sie ist eine Kantenkugel eines Kubus. In klassischem Fall vier Ebenen der zwei waagerechten und zwei senkrechten Quadraten schneiden die Kugeloberfläche in vier Kreisen. Der Naht des Balles besteht aus deren vier Halbkreisen, die in Punkten A, B, C und D verbunden sind (siehe die Zeichnung  unten).

Tetrated Dodecahedron

In der Bibliothek des Programms Stella4D befindet sich eine Polyedergruppe, die „Near Misses“ genannt wird. Ein Polyeder aus dieser Gruppe mit 28 Seitenflächen ist interessant und wir werden es ein wenig näher betrachten.  Es wird  auf Englisch Tetrated Dodecahedron genannt, was auf Deutsch etwa tetraedrisches Dodekaeder bedeutet. Alex Doskey und Robert X. Austin haben es unabhängig voneinander gefunden (2002-2003).

Reguläre Pentagone eines platonischen Dodekaeders wurden in vier Gruppen von drei Fünfecken aufgeteilt und diese entsprechend expandiert und verdreht. Dreiecke ergänzen die Oberfläche des neuen Polyeders. Vier blaue sind gleichseitig, zwölf gelbe gleichschenklig.
Der dihedrale Winkel zwischen zwei benachbarten Pentagonen beträgt 116,565°, so wie im Dodekaeder.

Polyeder toroidal

Eine interessante Gruppe der toroidalen Polyeder, die nach gleichem Schema erzeugt wurde.  Das Prinzip beruht auf der oktaedrischen Symmetrie. Alle Gebilden können reguläre, infinite Strukturen bilden. Zwei erste haben regelmäßige Dreiecke als Seitenflächen, als kann man sie als nicht konvexe Deltaeder bezeichnen.

 

 

Dodekaeder

Ein sechseckiges Prisma kann man so anspitzen, dass zwei ähnliche Dodekaeder entstehen.

  

Im ersten beträgt der dihedrale Winkel zwischen hellblauen Seitenflächen 120° und im zweiten 90°.

Beide Dodekaeder können räumliche Kreuze bilden, entsprechend: tetraedrisch  und oktaedrisch.