Startseite » 3D » O sześcio-ośmiościanie przyciętym

O sześcio-ośmiościanie przyciętym

O sześcio-ośmiościanie przyciętym

P2-A7

Czasem spotykamy się z zadaniami, które mają wystarczająco dużo danych i znalezienie rozwiązania wydaje się być tylko formalnością. Rzeczywistość okazuje się czasem inna. Rozwiązanie może wymagać skomplikowanych obliczeń, lub też droga prowadząca do rozwiązania jest nam zupełnie nieznana.

Na tego typy zadanie napotykamy się w przypadku sześcio-ośmiościanu przyciętego.

Sześcio-ośmiościan przycięty, nazwany przez Johannesa Keplera cubus simus, jest bryłą archimedesową o ciekawych własnościach. Nie posiada płaszczyzn symetrii, a jedynie osie obrotów (4-, 3- i 2-krotnych). Ma natomiast dwie formy chiralne: lewo- i prawoskrętną (ang. laeve i  dextro).

A7

Rys. 2

Warto wspomnieć, że na tej bryle można opisać kulę. W każdym wierzchołku schodzą się 4 trójkąty równoboczne i kwadrat (rys.3)  Odetnijmy jeden wierzchołek,  oznaczony S.

A7_150Rys. 3

Płaszczyzna cięcia przechodzi przez 5 sąsiednich wierzchołków, które są planarne (dlaczego?). Pięciobok ABCDE  (rys. 4) nazywamy figurą wierzchołkową (ang. Vertex figur). Na tym pięciokącie można opisać okrąg (dlaczego?). Jeśli przyjmiemy długość krawdzi jako 1, to bok AE, który jest przekątną kwadratu, ma długość  d=√2.

Vertex-A7_120Rys. 4

O pięcioboku ABCDE wiemy więc bardzo dużo. Spróbujmy obliczyć jego parametry, takie jak promień r okręgu opisanego k(O,r) i kąty αβγ i δ. Czytelnik zechce sprawdzić, czy jest to łatwe zadanie?

Znając  parametry pięcioboku ABCDE  możemy narysować inny pięciokąt – PQRST, którego boki są styczne do okręgu k w punktach A, B, C, D i E (rys. 5).

Vertex-A7-120_CatalanRys. 5

Z takich pięciokątów zbudowana jest bryła dualna do sześcio-ośmiościanu przyciętego (rys. 6). Jest to dwudziestoczterościan pięciokątny – jedna z tzw. brył Catalana. Sposób w jaki tu doszliśmy do kształtu jedej ściany wielościanu dualnego przy pomocy figury wierzchołkowej zawdzięczamy Dormanowi Luke.

Analogicznie jest w przypadku innej bryły archimedesowej – dwudziesto-dwunastościanu przyciętego (dodecaeder simum). Figura wierzchołkowa jest także pięciokątem, w którym  d=(1+√5)/2  – złota liczba. Bryłą dualną jest sześćdziestościan pięciokątny.

C7-640Rys. 6

Obok animacja tej bryły z linkiem do interaktywnego obiektu o2c. 

C7_160

Tadeusz E. Doroziński
4 maja 2013

Advertisements
Dieser Beitrag wurde unter 3D veröffentlicht. Setze ein Lesezeichen auf den Permalink.

Kommentar verfassen

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden / Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden / Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden / Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden / Ändern )

Verbinde mit %s